[論文レビュー] Perturbations of selfadjoint operators with periodic classical flow

Johannes Sjoestrand|ArXiv.org|Mar 3, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元において、自己随伴$h$-擬微分作用素の非自己随伴摂動について、未摂動作用素の古典的フローが周期的である場合の固有値の完全な漸近的記述を提供する。作用角変数に基づく幾何的量子化と、周期的軌道に沿った平均化を用いて、複素平面上の幅$\mathcal{O}(1)$の長方形内でのボーア＝ソルマーfeld型の量子化条件を確立する。これは摂動の強さ$\epsilon$が$h$に依存せず小さくても成立する。主な結果は、$\widetilde{h} = h/\epsilon^2$の$\widetilde{h}$-展開を持つ記号$\widehat{P}$による固有値の明示的パラメータ化であり、実軸付近の$\epsilon$帯におけるスペクトル分布を捉えている。

ABSTRACT

We consider non-selfadjoint perturbations of a self-adjoint $h$-pseudodifferential operator in dimension 2. In the present work we treat the case when the classical flow of the unperturbed part is periodic and the strength $ε$ of the perturbation satisfies $h^{δ_0} 0$. We get a complete asymptotic description of all eigenvalues in certain rectangles $[-1/C,1/C]+iε[F_0-1/C,F_0+1/C]$. In particular we are able to treat the case when $ε>0$ is small but independent of $h$.

研究の動機と目的

• 2次元における自己随伴$h$-擬微分作用素$P$の非自己随伴摂動$P + i\epsilon Q$のスペクトル分布を解析すること。ここで、$P$の古典的フローは周期的である。
• 固有値が複素平面上の固定幅の帯$\operatorname{Im} z \sim \mathcal{O}(\epsilon)$内にどのように分布するかを記述すること。$\epsilon$が小さくても$h$に依存しない場合でも成立する。
• 従来の方法が$\epsilon \ll h$を要件としていたのに対し、周期的古典的力学を持つ非自己随伴設定へのボーア＝ソルマーfeld量子化条件の拡張。
• $\widetilde{h} = h/\epsilon^2$の再スケーリングされたプランク定数を用いた、固有値の完全な漸近的展開を確立すること。$h^\delta \ll \epsilon \leq \epsilon_0$（$\delta < 1/4$）の範囲で有効である。
• 周期的ハミルトニアンフローと非自己随伴摂動の下での固有値クラスタリングと間隔の理解のための幾何的・解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 周期的$H_{p_2}$-フローに適合した作用角変数を用いた幾何的量子化のアプローチに依存する。ここで$p_2$は主記号の二次部分である。
• ハミルトニアンベクトル場$H_{p_2}$の周期的軌道に沿った平均化を用い、平均化された副次的項$\langle p_3 \rangle$を定義する。
• 固有値問題は、$\widetilde{h} \to 0$の下で$\widetilde{h}$のべき級数として漸近展開を持つ$\widehat{P}(\xi, \epsilon; \widetilde{h})$という記号への還元に帰着される。
• 固有値は、$S$をエネルギートーラス上の基本的サイクルに沿った作用積分として、$\widetilde{h}(k - \alpha/4) - S/2\pi$というずらされた作用変数によりパラメータ化される。
• 作用積分のサイクル上での差分として定義される正規化された作用変数$\xi_j$を用い、適切なスケーリングと周期性を保証する。
• 1次元への還元を避けて、問題の2次元構造を維持する。半古典的極限における記号の複素解析的性質とスペクトル理論に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的フローが周期的で、$\epsilon$が小さくも$h$に依存しない場合、非自己随伴摂動$P + i\epsilon Q$の固有値は複素平面上にどのように分布するか？
• RQ2 2次元において周期的古典的フローを持つ非自己随伴作用素に対して、ボーア＝ソルマーfeld型の量子化条件を確立できるか？
• RQ3 $\epsilon$帯$\operatorname{Im} z \sim \mathcal{O}(\epsilon)$における固有値の漸近的構造は何か？また、再スケーリングされたプランク定数$\widetilde{h} = h/\epsilon^2$にどのように依存するか？
• RQ4 記号展開に現れる$\epsilon$の負のべきはどのように生じるか？スペクトル漸近論におけるその役割は何か？
• RQ5 平均化された副次的記号$\langle p_3 \rangle$は、実軸付近の固有値分布を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 長方形$[1 - \mathcal{O}(1)^{-1}, 1 + \mathcal{O}(1)^{-1}] + i\epsilon[F_0 - \mathcal{O}(1)^{-1}, F_0 + \mathcal{O}(1)^{-1}]$内の固有値は、$z = \widehat{P}(\widetilde{h}(k - \alpha/4) - S/2\pi, \epsilon; \widetilde{h}) + \mathcal{O}(h^\infty)$で与えられ、$k \in \mathbb{Z}^2$ごとに1つの固有値が存在する。
• $\widehat{P}(\xi, \epsilon; \widetilde{h})$は$\widetilde{h} \to 0$の下で漸近展開$\sum_{n=0}^\infty \widetilde{h}^n \widetilde{p}_n^{(\infty)}(\xi, \epsilon)$を持つ。ここで$\widetilde{p}_0(\xi, \epsilon) = p_2(\xi) + i\epsilon e^{3\pi i/4} \langle p_3 \rangle(\xi) + \mathcal{O}(\epsilon^2)$である。
• 先導項$\widetilde{p}_0$は平均化された副次的記号$\langle p_3 \rangle$に依存し、その実部が複素平面上での固有値バンドの位置を決定する。
• 作用変数$\xi_j$は、$\frac{1}{2\pi} \left( \int_{\gamma_j(E,F)} \eta\,dy - \int_{\gamma_j(1,F_0)} \eta\,dy \right)$として正規化された作用積分として定義され、適切なスケーリングと周期性を保証する。
• 本手法により、$\epsilon$が$h^\delta$-程度に小さく（$\delta < 1/4$）なる場合でも可能であり、特に$\epsilon$が$h$に依存しない場合にも適用可能である。これは、従来の平均化に基づく手法では到達できない。
• 本結果は、複素平面上の固定幅$\mathcal{O}(1)$の長方形における完全なスペクトル記述を提供する。$\epsilon \gg h$の場合でも有効であり、以前の研究が想定していた$\epsilon \ll h$の範囲を超えて拡張されている。