[論文レビュー] Petrov-Galerkin Method for Fully Distributed-Order Fractional Partial Differential Equations

Mehdi Samiee, Ehsan Kharazmi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、時間にJacobi多分数多項式、空間にルジャンドル多項式を用いた、完全に分配型分数階偏微分方程式を解く高速かつ安定なペトロフ・ガレルキンスペクトル法を提案する。この手法はスペクトル収束を達成し、分配型ソボレフ空間を介して適切に定式化され、多次元における計算効率を高めるために統一的高速線形ソルバを採用する。

ABSTRACT

Distributed-order PDEs are tractable mathematical models for complex multiscaling anomalous transport, where derivative orders are distributed over a range of values. We develop a fast and stable Petrov-Galerkin spectral method for such models by employing Jacobi extit{poly-fractonomial}s and Legendre polynomials as temporal and spatial basis/test functions, respectively. By defining the proper underlying extit{ distributed Sobolev} spaces and their equivalent norms, we prove the well-posedness of the weak formulation, and thereby carry out the corresponding stability and error analysis. We finally provide several numerical simulations to study the performance and convergence of proposed scheme.

研究の動機と目的

• $(1+d)$次元の完全に分配型分数階偏微分方程式に、両側導関数を含む安定的かつ効率的な数値スキームを開発すること。
• 完全に分配型偏微分方程式の弱形式をサポートするため、分配型ソボレフ空間フレームワークを拡張すること。
• 離散インフラ・サブ条件および同値ノルムの厳密な解析を通じて、弱形式の適切な定式化を保証すること。
• 剛性行列と質量行列の構造を活用して、多次元問題における計算効率を向上させるために、高速線形ソルバを設計すること。
• 提示されたペトロフ・ガレルキンスペクトル法の安定性および誤差解析を確立し、スペクトル収束を示すこと。

提案手法

• 時間的微分項を扱うために、時間的基底関数およびテスト関数としてJacobi多分数多項式を採用する。
• ペトロフ・ガレルキン枠組みにおける空間微分を扱うために、空間的基底関数およびテスト関数としてルジャンドル多項式を用いる。
• 分配型ソボレフ空間の新規クラスを定義し、弱形式および安定性解析を支援するための同値ノルムを導出する。
• 標準領域から物理領域へのアフィン写像を用いて剛性行列の項を構築し、空間作用素の正確な計算を可能にする。
• 分配型積分におけるスペクトル精度を保証するために、十分な数のガウス・ルジャンドル求積点を用いる。
• 剛性行列および質量行列の対称性と構造を活用して、統一的高速線形ソルバを実装し、多次元問題における解法時間を顕著に短縮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間および空間の両方で変数係数を持つ完全に分配型分数階偏微分方程式に対して、ペトロフ・ガレルキンスペクトル法をどのように定式化・解析できるか。
• RQ2 弱形式の適切な定式化を保証するために必要な関数空間フレームワーク（特に分配型ソボレフ空間）は何か。
• RQ3 提案手法は、一般の分配型条件下でもスペクトル収束性および安定性を達成できるか。
• RQ4 高次元において、計算コストが著しく増大することなく、剛性行列を効率的に計算および逆行列化できるか。
• RQ5 Jacobi多分数多項式およびルジャンドル多項式は、数値スキームにおける高次精度および安定性をどのように実現するか。

主な発見

• 数値シミュレーションにより、提案されたペトロフ・ガレルキンスペクトル法が完全に分配型分数階偏微分方程式に対してスペクトル収束を達成することが確認された。
• 離散インフラ・サブ条件が満たされており、構築された分配型ソボレフ空間フレームワーク内での弱形式の適切な定式化が保証された。
• 全空間的剛性行列は対称であり、十分な数の求積点を用いたアフィン写像およびガウス・ルジャンドル求積により、その項が正確に計算された。
• 剛性行列と質量行列の構造と対称性を活用した統一的高速線形ソルバのおかげで、多次元問題において高い計算効率が実現された。
• 安定性および誤差解析が厳密に証明され、多項式次数が増加するに従い、誤差がスペクトル速度で減少することが示された。
• 数値結果により、時間的および空間的分配型微分を含む多様なテストケースにおいて、手法の精度および頑健性が確認された。