[論文レビュー] Pfaffian structures and certain solutions to BKP hierarchies I. Sums over partitions

A. Yu. Orlov, Takahiro Shiota+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、大規模BKP（lBKP）および2-lBKPハイアラルキーに対して、シュール関数および射影的シュール関数の分割に関する重み付きピフォイアンを用いた和として表される、解ける解のクラス「イージータウ関数」を導入する。これらの関数は、超幾何型タウ関数の一般化であり、直交およびシミプレクティックな確率的行列アンサンブル、およびハードコア除外を伴う1次元格子上のフェルミ粒子系の統計力学的モデルの分配関数を記述することが示された。

ABSTRACT

We introduce a useful and rather simple class of BKP tau functions which which we shall call "easy tau functions". We consider two versions of BKP hierarchy, one we will call "small BKP hierarchy" (sBKP) related to $O(\infty)$ introduced in Date et al and "large BKP hierarchy" (lBKP) related to $O(2\infty +1)$ introduced in Kac and van de Leur (which is closely related to the large $O(2\infty)$ DKP hierarchy (lDKP) introduced in Jimbo and Miwa). Actually "easy tau functions" of the sBKP hierarchy were already considered in Harnad et al, here we are more interested in the lBKP case and also the mixed small-large BKP tau functions (Kac and van de Leur). Tau functions under consideration are equal to certain sums over partitions and to certain multi-integrals over cone domains. In this way they may be applicable in models of random partitions and models of random matrices. Here is the first part of the paper where sums of Schur and projective Schur functions over partitions are considered.

研究の動機と目的

• 大規模BKP（lBKP）および2-lBKPハイアラルキーに対する、解ける解の新クラス「イージータウ関数」を定義し、それらを研究すること。
• これらのタウ関数と、特に直交およびシミプレクティックなアンサンブルに属する確率的行列アンサンブルとの関係を確立すること。
• ハードコア除外を伴う1次元格子上でのフェルミオン粒子系の物理的解釈を、これらの解の観点から探求すること。
• 既知の超幾何型タウ関数を一般化し、分割上のシュール関数および射影的シュール関数と関連付けること。
• フェルミオンフォック空間形式を用いて、確率的粒子モデルにおける分配関数および遷移確率の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 分割の和としてlBKPタウ関数を導出する：τ_ll′(t) = ∑_λ∈P s_λ(t) Π_λ(l,l′)，ここでΠ_λ(l,l′)はピフォイアンである。
• 文献[13]に従い、lBKPハイアラルキーのフェルミオンフォック空間表現を用い、時間順序付き指数関数の真空期待値としてタウ関数を表現する。
• 時間発展がJ₁ + J₋₁で記述される1次元格子上でのフェルミオン系をモデル化する。ここでJ_±1はシフト作用素である。
• 指数関数の簡略化にバーガー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式を用い、真空から配置λへの経路数をW_0→λ(T) = ⟨0|(J₁ + J₋₁)^T|λ⟩として表す。
• 分配関数Z₀(T) = ⟨0|(J₁ + J₋₁)^T|Ω₀⟩をシュール関数と関連付け、鞍点近似を用いて漸近的表現を導出する。
• 「太った分割」λ ∪ λ（繰り返しのある偶数長の分割）のケースを分析し、1次元デイマー系をモデル化する。Tが偶数のときN_FP(T) = 2^T(T−1)/2が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模BKPハイアラルキーに対して、解ける解（「イージータウ関数」）を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 lBKPタウ関数と、特に直交およびシミプレクティックなアンサンブルに属する確率的行列アンサンブルとの関係は何か？
• RQ3 分割に関するピフォイアン重み付き和は、1次元格子上でのフェルミオン粒子系の物理的モデルとどのように関係するか？
• RQ4 射影的シュール関数および太った分割は、lBKPタウ関数の構造において果たす役割は何か？
• RQ5 確率的粒子系における経路数統計の漸近的挙動は、タウ関数形式から導出可能か？

主な発見

• lBKPタウ関数τ_ll′(t)は、すべての分割λ ∈ Pにおけるシュール関数s_λ(t)をピフォイアンΠ_λ(l,l′)で重み付けした和として表現され、新たな解ける解のクラスが得られた。
• 1次元フェルミオン粒子系の分配関数は、Z₀(T) = T! s^(T)(t′₂)で与えられ、ここでt′₂ = (1,1,0,0,…), かつs^(T)は分割(T)に対応する基本シュール関数である。
• 真空から配置λへの遷移確率は、p_0→λ(T) = s_λ(t₁)/s^(T)(t′₂) δ(T,|λ|)で与えられ、ここでt₁ = (1,0,0,…), かつδ(T,|λ|)はT − |λ|が偶数であることを強制する。
• Tが大きいとき、分配関数はZ₀(T) ∼ exp( T/2 log T + T/2 log 2 + O(√T) )と漸近的に振る舞う。
• 「太った分割」配置λ ∪ λに到達する経路数は、Tが偶数のときN_FP(T) = 2^T(T−1)/2、Tが奇数のとき0であり、これは1次元デイマー状態に対応する。
• 太った分割ケースの母関数は∑_{T even} t^T/T! N_FP(T) = e^t²として与えられ、デイマー状態の組合せ的構造が確認された。