[论文解读] Physics-Informed Quantum Machine Learning: Solving nonlinear differential equations in latent spaces without costly grid evaluations

Annie E. Paine, Vincent E. Elfving+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一种物理信息量子机器学习框架，通过在潜在空间中将函数和导数项编码为量子态，求解非线性和多维微分方程，实现通过态重叠测量进行内在并行的损失评估，无需基于网格的函数评估。该方法仅在系统规模上增加线性开销，即可实现高效的非线性编码，相较于经典PINNs在网格评估成本上表现更优，同时保持了对边界条件、数据约束和多变量问题的灵活性。

ABSTRACT

We propose a physics-informed quantum algorithm to solve nonlinear and multidimensional differential equations (DEs) in a quantum latent space. We suggest a strategy for building quantum models as state overlaps, where exponentially large sets of independent basis functions are used for implicitly representing solutions. By measuring the overlaps between states which are representations of DE terms, we construct a loss that does not require independent sequential function evaluations on grid points. In this sense, the solver evaluates the loss in an intrinsically parallel way, utilizing a global type of the model. When the loss is trained variationally, our approach can be related to the differentiable quantum circuit protocol, which does not scale with the training grid size. Specifically, using the proposed model definition and feature map encoding, we represent function- and derivative-based terms of a differential equation as corresponding quantum states. Importantly, we propose an efficient way for encoding nonlinearity, for some bases requiring only an additive linear increase of the system size $\mathcal{O}(N + p)$ in the degree of nonlinearity $p$. By utilizing basis mapping, we show how the proposed model can be evaluated explicitly. This allows to implement arbitrary functions of independent variables, treat problems with various initial and boundary conditions, and include data and regularization terms in the physics-informed machine learning setting. On the technical side, we present toolboxes for exponential Chebyshev and Fourier basis sets, developing tools for automatic differentiation and multiplication, implementing nonlinearity, and describing multivariate extensions. The approach is compatible with, and tested on, a range of problems including linear, nonlinear and multidimensional differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种无需依赖顺序网格评估的量子机器学习方法，用于求解非线性和多维微分方程。
• 通过将基于网格的函数和梯度评估替换为量子态重叠测量，降低物理信息机器学习的计算成本。
• 在量子潜在空间中实现非线性项的高效编码，仅使系统规模增加O(N + p)，其中p为非线性度数。
• 提供一个兼容多种基集（切比雪夫、傅里叶）、边界条件、数据约束和潜在空间正则化的灵活框架。
• 通过量子线路模拟，证明该方法在求解线性、非线性和多维微分方程时的可行性与可扩展性。

提出的方法

• 该方法使用基映射编码将微分方程的函数和导数项编码为量子态，实现在高维量子潜在空间中的解表示。
• 将损失定义为表示微分方程各项的量子态之间的重叠，实现无需顺序网格采样的全局并行评估。
• 通过一种仅使系统规模随非线性度数线性增长的构造，高效编码非线性项，实现O(N + p)的缩放性能。
• 通过独立变量的张量积编码实现多变量扩展，并支持基于基的运算的自动微分。
• 采用夹杂辅助量子比特的Hadamard测试，测量态重叠的实部和虚部，包括用于物理信息约束的导数相关重叠。
• 该方法兼容变分量子算法，并可通过HHL等量子线性系统求解器扩展至非变分求解器，实现直接态制备。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以利用量子态重叠来定义微分方程的损失函数，从而避免基于网格的评估？
• RQ2 如何在量子潜在空间中以最小的量子比特开销高效编码微分方程中的非线性项？
• RQ3 所提方法能否在多维和非线性情形下实现可扩展的、并行的物理信息损失评估？
• RQ4 该框架在统一的量子机器学习框架中，对各种边界条件、数据约束和正则化项的处理能力如何？
• RQ5 与经典PINNs相比，该方法是否在近场量子设备上具有更低的计算成本，具备求解复杂微分方程的可行性？

主要发现

• 通过测量量子态重叠，该方法实现了物理信息损失的内在并行评估，消除了对网格上顺序函数评估的需求。
• 对于度数为p的非线性项，仅需增加O(p)的量子比特数量，显著提升了相对于先前方法的可扩展性。
• 通过基于基的量子线路，该框架可显式评估独立变量的任意函数，包括多变量和高阶导数项。
• 该方法在一系列问题上得到验证，包括线性、非线性和多维微分方程，仿真结果表明其具有灵活性和正确性。
• 该方法保持与变分量子线路的兼容性，并为与量子线性系统求解器集成以实现非变分求解协议提供了路径。
• 使用切比雪夫和傅里叶基集的自动微分工具，实现了潜在空间中高效梯度计算和模型优化。