[论文解读] Quantum codes on a lattice with boundary

Sergey Bravyi, Alexei Kitaev|ArXiv.org|Nov 20, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 412

一句话总结

本文提出了一类新型的二维晶格边界上的拓扑量子码，其中量子比特位于晶格边上，稳定算符生成元作用于顶点和面上。逻辑量子比特通过晶格上循环的相对同调类进行编码，码距由连接同类边界最短路径决定，从而实现在开放表面上具有拓扑保护的容错量子计算。

ABSTRACT

A new type of local-check additive quantum code is presented. Qubits are associated with edges of a 2-dimensional lattice whereas the stabilizer operators correspond to the faces and the vertices. The boundary of the lattice consists of alternating pieces with two different types of boundary conditions. Logical operators are described in terms of relative homology groups.

研究动机与目标

• 将拓扑量子码（如表面码）从闭合曲面（如环面）推广到具有边界的晶格，同时保持拓扑保护。
• 定义两种不同的边界类型——x-边界和z-边界，使 anyon 激发在不同边界上以不同方式稳定，确保拓扑序的鲁棒性。
• 建立逻辑算符与相对同调群 H₁(Q,V,Z₂) 和 H₁(Q,V*,Z₂) 之间的对应关系，实现在开放曲面上的逻辑量子比特编码。
• 将码距表征为连接同类型边界的最短路径长度，确保对局部错误具有容错性。
• 从拓扑量子序和 anyon 统计的角度解释两种边界类型的物理起源，表明在刚性约束下仅存在两种稳定的边界类型。

提出的方法

• 将量子比特分配到二维正方形晶格的边上，交替设置 x-边界和 z-边界，其中边界条件由某些稳定算符生成元的缺失来定义。
• 将稳定算符 Aₛ（顶点算符）和 Bₚ（面算符）分别定义为星形区域和面边界上 σˣ 和 σᶻ 的乘积，对靠近边界的不完整面区域采用修改后的定义。
• 使用相对同调群 H₁(Q,V,Z₂) 和 H₁(Q,V*,Z₂) 对逻辑算符进行分类，其中 V 和 V* 分别表示 x-边界和 z-边界组件。
• 构造逻辑算符为 Y([c],[c*]) = ∏ᵢ∈c σᶻᵢ ∏ⱼ∈c* σˣⱼ，其中 c 和 c* 分别为原晶格和对偶晶格上的 1-循环。
• 确保逻辑算符与所有稳定算符对易，并仅当相对同调类非平凡时才非平凡作用，从而保持逻辑信息。
• 推导出码距 d = min{min_{[c]≠0} |supp(c)|, min_{[c*]≠0} |supp(c*)|}，其对应于连接同类型边界的最短路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拓扑量子码从闭合曲面（如环面）推广到具有边界的曲面，同时保持拓扑错误纠正能力？
• RQ2 决定拓扑量子码中允许的边界条件类型的物理和拓扑约束是什么？
• RQ3 此类码中逻辑量子比特如何涌现？其精确的数学结构（如同调群）是什么？
• RQ4 边界码中的码距由什么决定，它与纠错能力有何关系？
• RQ5 为何在具有拓扑量子序的系统中，仅存在两种刚性边界类型——x-边界和z-边界？

主要发现

• 编码在码中的逻辑量子比特数量为 dim H₁(Q,V,Z₂) = dim H₁(Q,V*,Z₂)，对于具有 k 个 x-边界和 k 个 z-边界的圆盘，其值为 k−1。
• 码距 d 对于 n×m 的晶格等于 min{n+1, m+1}，可保护最多 ⌊(d−1)/2⌋ 个局部错误。
• 逻辑算符作为原晶格和对偶晶格上循环 c 和 c* 沿路径的泡利算符乘积构造，其作用由相对同调类决定。
• 两种边界类型（x 和 z）分别对应于电荷 anyon 和磁荷 anyon 在边界处凝聚的能力，且在刚性约束下是唯一可能的稳定边界类型。
• 该构造可推广至任意一对在具有边界的曲面上的对偶晶格，不限于正方形晶格。
• 边界附近拓扑序的稳定性由 anyon 统计解释：仅玻色子 anyon（电荷或磁荷）可发生边界凝聚，而费米子复合态则不能。