[논문 리뷰] Pixton's formula and Abel-Jacobi theory on the Picard stack

Younghan Bae, David Holmes외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 73인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 로그 기하학과 b-차우 사이클 기법을 사용하여 피카르 스택에서 비틀린 이중 잔여 사이클에 대한 보편 공식을 수립한다. 이는 피카르 스택에서의 모듈리 공간의 비틀린 유형의 유수분해 미분형식의 기본 클래스가 히크스톤의 공식에 의해 지배됨을 증명하며, 오랫동안 남아 있던 추측을 해결하고 피카르 스택의 운영 차우 환에서 새로운 타우토로지적 관계를 도출한다.

ABSTRACT

Let $A=(a_1,\ldots,a_n)$ be a vector of integers with $d=\sum_{i=1}^n a_i$. By partial resolution of the classical Abel-Jacobi map, we construct a universal twisted double ramification cycle $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ as an operational Chow class on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ of $n$-pointed genus $g$ curves carrying a degree $d$ line bundle. The method of construction follows the log (and b-Chow) approach to the standard double ramification cycle with canonical twists on the moduli space of curves [arXiv:1707.02261, arXiv:1711.10341, arXiv:1708.04471]. Our main result is a calculation of $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ via an appropriate interpretation of Pixton's formula in the tautological ring. The basic new tool used in the proof is the theory of double ramification cycles for target varieties [arXiv:1812.10136]. The formula on the Picard stack is obtained from [arXiv:1812.10136] for target varieties $\mathbb{CP}^n$ in the limit $n ightarrow \infty$. The result may be viewed as a universal calculation in Abel-Jacobi theory. As a consequence of the calculation of $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$, we prove that the fundamental classes of the moduli spaces of twisted meromorphic differentials in $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ are exactly given by Pixton's formula (as conjectured in the appendix to [arXiv:1508.07940] and in [arXiv:1607.08429]). The comparison result of fundamental classes proven in [arXiv:1909.11981] plays a crucial role in our argument. We also prove the set of relations in the tautological ring of the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ associated to Pixton's formula.

연구 동기 및 목표

• 곡선의 모듈리 공간에서 이중 잔여 사이클 이론을 선다발을 가진 곡선의 피카르 스택으로 확장하기.
• 히크스톤의 공식을 사용하여 피카르 스택에서의 비틀린 이중 잔여 사이클에 대한 보편 계산을 제공하기.
• 콤���트화된 곡선의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 내에서 비틀린 유수분해 미분형식의 모듈리 공간의 기본 클래스가 히크스톤의 공식으로 주어짐을 증명하고, 추측을 확인하기.
• 히크스톤의 공식을 통해 피카르 스택 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 의 운영 차우 환에서 완전한 타우토로지적 관계 집합을 수립하기.

제안 방법

• 아벨-자코비 사상의 부분 해소를 통해 피카르 스택 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 상에서 보편 비틀린 이중 잔여 사이클 $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ 를 구성한다.
• 로그 기하학과 상대 선다발을 사용하여 로그 및 b-차우 접근법을 적용하여 사이클을 정의한다.
• 특히 $\mathbb{CP}^n$ 에서 $n \to \infty$ 의 극한에서 목표 다양체에 대한 이중 잔여 사이클 이론을 사용하여 공식을 유도한다.
• 문헌 [42]의 기본 클래스 비교 결과를 활용하여 피카르 스택 상의 사이클을 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 상의 알려진 공식과 연결한다.
• 쌍대성, 마킹 재가중, 타원화에 대한 불변성 성질을 활용하여 일반적인 경우를 더 단순한 설정으로 축소한다.
• 피카르 스택 상의 임베딩의 단사성과 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathbb{P}^l, d)$ 상의 소멸 결과를 사용하여 고차원에서 히크스톤의 공식의 소멸을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 잔여 사이클은 어떻게 곡선의 모듈리 공간에서 선다발을 가진 곡선의 피카르 스택으로 보편적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 히크스톤의 공식은 피카르 스택에서의 비틀린 이중 잔여 사이클에 대해 유효한가? 그리고 이는 비틀린 유수분해 미분형식의 모듈리 공간의 기본 클래스를 계산하는가?
• RQ3 히크스톤의 공식으로부터 피카르 스택의 운영 차우 환에서 유도되는 타우토로지적 관계는 무엇인가?
• RQ4 피카르 스택 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 상의 사이클 $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ 는 로그 및 러버 스페이스 구성에 의해 알려진 공식과 일치하는가?
• RQ5 히크스톤의 공식이 코드비전 $c > g$ 에서 소멸하는 것이 그로모프-위튼 이론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 피카르 스택 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 상의 비틀린 이중 잔여 사이클 $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ 는 타우토로지 링 내에서 히크스톤의 공식의 해석을 통해 계산된다.
• 콤팩트화된 곡선의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 내에서 비틀린 유수분해 미분형식의 모듈리 공간의 기본 클래스는 정확히 히크스톤의 공식으로 주어지며, [31, Appendix] 및 [74]에서 제기된 추측을 확인한다.
• 히크스톤의 공식과 관련된 피카르 스택 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 의 운영 차우 환 내 타우토로지적 관계 집합은 완전히 결정되어 있다.
• 코드비전 $c > g$ 에서, 히크스톤의 공식의 코드비전-$c$ 부분은 $\mathsf{CH}^c_{\mathsf{op}}(\mathfrak{Pic}_{g,n,d})$ 에서 소멸한다. 즉, $\mathsf{P}^c_{g,A,d} = 0$ 이며, 이는 [24] 및 [69]의 결과를 확장한다.
• 이 소멸 관계를 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$ 상으로 당겨서 감소된 가상 클래스와 캡핑함으로써 감소된 그로모프-위튼 이론에서 새로운 관계를 도출한다.
• 이 결과는 K3 곡면과 같이 비퇴화하는 헬름홀로픽 2-형식을 가진 타겟에 대해 그로모프-위튼 이론의 불변량을 계산하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다.