[論文レビュー] Planar kinematic invariants, matroid subdivisions and generalized Feynman diagrams

Nick Early|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、$m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$の一般化された運動量不変量における平面的基底を導入し、マトロイド分割への境界作用素の作用により極の整合性に関する組合せ的基準を可能にする。これを Mathematica に実装し、非負のトロピカル・グラスマンニアンにおける最大コーンを計算した。その結果、$\mathrm{Trop}_+(3,8)$ に対して13,612個、$\mathrm{Trop}_+(3,9)$ に対して346,710個、$\mathrm{Trop}_+(4,8)$ に対して90,608個が得られ、先行研究と一致し、分母次数ごとの一般化されたフェยnマン図の列挙を可能にする。

ABSTRACT

In recent work of Cachazo, Guevara, Mizera and the author, a generalization of the biadjoint scattering amplitude $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ was introduced as an integral over the moduli space of $n$ points in $\mathbb{CP}^{k-1}$, with value a sum of certain rational functions on the kinematic space $\mathcal{K}_{k,n}$. It was shown there for $m^{(3)}(\mathbb{I}_6,\mathbb{I}_6)$ and later by Cachazo and Rojas that collections of poles appearing in $m^{(3)}(\mathbb{I}_7,\mathbb{I}_7)$ are compatible exactly when they are dual to collections of rays which generate the maximal faces of a polyhedral complex known as the (nonnegative) tropical Grassmannian. In this note, we derive a remarkable planar basis for the space of generalized kinematic invariants which coincides in the case $k=2$ with usual standard planar multi-particle basis for the kinematic space. We implement in Mathematica the action on formal linear combinations of planar matroid subdivisions of a boundary operator which, together with the planar basis, determines compatibility for any given poles appearing in the expansion of $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$, by computing a certain combinatorial non-crossing condition on the second hypersimplicial faces $Δ_{2,n-(k-2)}$ of $Δ_{k,n}$. The algorithms are implemented in an accompanying Mathematica notebook and are evaluated on existing tables of rays, in the form of tropical Plucker vectors, to tabulate the finest planar subdivisions of $Δ_{3,8},Δ_{3,9}$ and $ Δ_{4,8}$, or equivalently the set of maximal cones for the corresponding nonnegative tropical Grassmannians.

研究の動機と目的

• $k=2$ の場合の標準的な平面的基底を $k>2$ に一般化する、運動量空間 $\mathcal{K}_{k,n}$ 上の線形関数の平面的基底を構築すること。
• マトロイド分割への境界作用素を用いて、一般化された双対運動量振幅 $m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ における極の整合性に関する組合せ的基準を提供すること。
• 第二ハイパーシンプルスの面 $\Delta_{2,n-(k-2)}$ におけるシュタインマン関係をチェックするアルゴリズムを Mathematica に実装し、極の整合性を特定すること。
• $\Delta_{3,8}, \Delta_{3,9}, \Delta_{4,8}$ の最良の平面的分割を列挙すること。これらは非負のトロピカル・グラスマンニアン $\mathrm{Trop}_+(3,8)$、$\mathrm{Trop}_+(3,9)$、$\mathrm{Trop}_+(4,8)$ の最大コーンに対応する。

提案手法

• 非凍結な $k$-要素部分集合 $J \subset \{1,\dots,n\}$ で、巡回的区間でないものからなる平面的基底 $\eta_J$ を定義する。
• 各トロピカル・プルーチェベクトルを $\mathcal{K}_{k,n}$ 上の線形関数として表現し、その後、平面的基底 $\eta_J$ に展開する。
• 展開式における各 $\eta_J$ をその曲率 $\beta_J$ に置き換え、曲率関数を構成する。
• 境界作用素 $\sum_{L \in \binom{[n]}{n-(k-2)}} \partial_{(L,1)}$ を曲率関数に作用させ、第二ハイパーシンプルスの面 $\partial_L(\Delta_{k,n}) \simeq \Delta_{2,n-(k-2)}$ に制限する。
• 各面における極のペアに対して、四項のシュタインマン関係が成り立つかをチェックする。
• 得られた整合性条件を用いて、平面的基底要素の最大整合集合を列挙し、非負のトロピカル・グラスマンニアンにおける最大コーンに対応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された双対運動量振幅の文脈において、$k=2$ から $k>2$ への運動量不変量の平面的基底をどのように一般化できるか。
• RQ2 $k \geq 3$ の場合に、$m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$ における極の整合性を保証する組合せ的基準は何か。
• RQ3 平面的基底と境界作用素を用いて、非負のトロピカル・グラスマンニアン $\mathrm{Trop}_+(k,n)$ の最大コーンを体系的に列挙できるか。
• RQ4 分母次数でパrameter化された一般化されたフェイマン図の数は、$k$ と $n$ に応じてどのように分布するか。
• RQ5 平面的基底と整合性チェックの結果は、$\mathrm{Trop}_+(k,n)$ の既知の最大コーンの数をどの程度正確に再現するか。

主な発見

• 運動量空間 $\mathcal{K}_{k,n}$ における平面的基底 $\eta_J$ は、非凍結な $k$-要素部分集合 $J \subset \{1,\dots,n\}$ から構成され、$k=2$ の標準的な平面的基底の一般化を提供する。
• $\mathrm{Trop}_+(3,8)$ の最大コーンの数は13,612個であり、CachazoPlanarCollections でのカウントと一致する。
• $\mathrm{Trop}_+(3,9)$ の最大コーンの数は346,710個であり、楊・彰が共有したデータセットから得られた1,140本のレイトスを用いて計算された。
• $\mathrm{Trop}_+(4,8)$ の最大コーンの数は90,608個であり、CachazoPlanarCollections より得られた先行結果と整合する。
• $m^{(3)}(\mathbb{I}_8,\mathbb{I}_8)$ については、分母次数 $d$ ごとの一般化フェイマン図の分布は以下の通りである：$d=8$ で9,672個、$d=9$ で1,696個、$d=10$ で1,092個、以降 $d=17$ で8個まで減少する。
• アルゴリズムは、$\mathrm{Trop}_+(k,n)$ の既知の最大コーンの数を正確に再現でき、第二ハイパーシンプルスの面におけるシュタインマン関係に基づく整合性基準の妥当性が裏付けられた。