[論文レビュー] Plausibility measures on test spaces

T. A. Fritz, Matthew Leifer|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的標本空間からテスト空間へと、不確実性下での推論のための構造である妥当性測度を一般化する。操作的理論および量子理論への応用を可能にする。厳密に有限なテスト空間では、アキシマトム的条件が妥当性測度が確率測度と一致するための必要十分条件であることが示され、局所的に有限な場合では「ほぼ一致」が成立する。これにより、確率的推論の基礎的結果が非古典的枠組みへと拡張される。

ABSTRACT

Plausibility measures are structures for reasoning in the face of uncertainty that generalize probabilities, unifying them with weaker structures like possibility measures and comparative probability relations. So far, the theory of plausibility measures has only been developed for classical sample spaces. In this paper, we generalize the theory to test spaces, so that they can be applied to general operational theories, and to quantum theory in particular. Our main results are two theorems on when a plausibility measure agrees with a probability measure, i.e. when its comparative relations coincide with those of a probability measure. For strictly finite test spaces we obtain a precise analogue of the classical result that the Archimedean condition is necessary and sufficient for agreement between a plausibility and a probability measure. In the locally finite case, we prove a slightly weaker result that the Archimedean condition implies almost agreement.

研究の動機と目的

• 古典的標本空間からテスト空間へ、確率、可能性測度、比較的確率関係の一般化である妥当性測度の理論を拡張すること。テスト空間は操作的理論および量子理論をモデル化する。
• テスト空間上での妥当性測度が、確率測度の比較的関係を忠実に再現するための条件を同定すること。
• 特に確率が強すぎるか、定義されていないような文脈において、量子理論および後確率的物理理論における不確実性下での推論のための形式的枠組みを提供すること。
• 連続的確率が崩壊する可能性がある離散的物理や量子重力の基礎的問題に対処すること。ここでは、より弱い予測構造が求められる。

提案手法

• 結果空間をカバーするテスト（結果の集合）の集まりとしてテスト空間を形式化し、古典的可測空間を一般化して、互いに不適合な測定を許容する。
• イベント間の反射的・推移的・単調な比較関係として妥当性測度を定義し、確率測度および可能性測度を一般化する。
• イベントの比較的順序に基づいて、妥当性測度と確率測度の間の「一致」と「ほぼ一致」の概念を導入する。
• 順序単位空間に対するハーン＝バナッハ型定理を適用し、分離結果を導出し、妥当性測度の構造を特徴付ける。
• 順序単位空間の構成を用いて、特に有限および局所的に有限なテスト空間において、妥当性測度と確率測度の関係を分析する。
• アキシマトム的条件—無限に小さいまたは大きな比較が存在しないことを保証する—が、有限の場合には妥当性測度と確率測度の一致の必要十分条件であり、一般には十分条件であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テスト空間上での妥当性測度が、比較的尤度に関して、確率測度と正確に一致するのはどのような条件下か？
• RQ2 古典的理論において妥当性測度と確率測度の一致を特徴付けることで知られる古典的アキシマトム的条件を、量子力学のような非古典的操作的理論へと拡張できるか？
• RQ3 アキシマトム的条件は、完全な古典的結果が成立しない可能性がある局所的に有限なテスト空間において、どのように振る舞うか？
• RQ4 妥当性測度は、コンテキスチュアルな現象や非局所性といった、基礎的量子現象における可能性的枠組みと確率的枠組みをどの程度統合できるか？
• RQ5 妥当性測度は、特に量子重力や離散的量子モデルにおいて、後確率的物理理論の基礎として機能できるか？

主な発見

• 厳密に有限なテスト空間では、アキシマトム的条件が妥当性測度が確率測度と一致するための必要十分条件であることが示され、古典的結果が非古典的枠組みへと一般化される。
• 局所的に有限な場合、アキシマトム的条件は「ほぼ一致」を意味し、これはやや弱いが依然として重要な対応関係である。
• 順序単位空間の構成により、ハーン＝バナッハ風の分離議論が可能となり、一致に関する主な結果の証明に中心的な役割を果たす。
• 妥当性測度は、可能性測度と確率測度を特別な場合として統合し、操作的理論における不確実性下での推論の共通枠組みを提供する。
• これらの結果は、確率が根本的でない理論、例えば離散的または量子重力的モデルにおいて、妥当性測度を基礎的構造として用いることが妥当であることを支持する。
• この枠組みにより、可能性測度がいかなる確率測度に対しても表現不能であるような状況を特定でき、その非表現可能性の基準としてアキシマトム的条件が提供される。