[論文レビュー] Plugin Estimation of Smooth Optimal Transport Maps

Tudor Manole, Sivaraman Balakrishnan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2021

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、経験測度と非パラメトリック密度推定を用いたプラグイン推定量を提案し、ホルダー連続性および滑らかさの仮定の下で最小最大最適レートを達成することを示している。主な貢献は、実用的であるにもかかわらず最小最大最適性を示したこの推定量の正当化であり、密度関数が滑らかである場合に、母集団値を中心にした二乗ウォッシャー形式距離の中心極限定理を確立することにある。

ABSTRACT

We analyze a number of natural estimators for the optimal transport map between two distributions and show that they are minimax optimal. We adopt the plugin approach: our estimators are simply optimal couplings between measures derived from our observations, appropriately extended so that they define functions on $\mathbb{R}^d$. When the underlying map is assumed to be Lipschitz, we show that computing the optimal coupling between the empirical measures, and extending it using linear smoothers, already gives a minimax optimal estimator. When the underlying map enjoys higher regularity, we show that the optimal coupling between appropriate nonparametric density estimates yields faster rates. Our work also provides new bounds on the risk of corresponding plugin estimators for the quadratic Wasserstein distance, and we show how this problem relates to that of estimating optimal transport maps using stability arguments for smooth and strongly convex Brenier potentials. As an application of our results, we derive central limit theorems for plugin estimators of the squared Wasserstein distance, which are centered at their population counterpart when the underlying distributions have sufficiently smooth densities. In contrast to known central limit theorems for empirical estimators, this result easily lends itself to statistical inference for the quadratic Wasserstein distance.

研究の動機と目的

• 未知の分布間の最適輸送マップのための実用的で最小最大最適な推定量を開発すること。
• 滑らかさの仮定の下で、経験測度と非パラメトリック密度推定に基づくプラグイン推定量を分析すること。
• 密度関数が滑らかである場合に、母集団値を中心にした二乗ウォッシャー形式距離の中心極限定理を確立すること。
• 最適輸送における理論的最小最大最適性と計算的に実行可能な推定量を橋渡しすること。
• ブレニエポテンシャルの安定性を用いた議論により、二乗ウォッシャー形式距離のプラグイン推定量の新たなリスクバウンディングを提供すること。

提案手法

• プラグイン法を用いる：経験的測度または密度推定測度間の最適結合を計算し、それを線形スムージングにより R^d 上の関数に拡張する。
• 線形スムージングを用いて、経験的サポート上での最適結合を全定義域に拡張し、滑らかさと関数値をとる推定量を保証する。
• 推定誤差をウォッシャー形式距離の双対定式化において制御するために、ウェーブレット解析とポアンカレ不等式を用いる。
• 強い凸性を持つブレニエポテンシャルの安定性を用いて、推定リスクと対応するウォッシャー形式距離推定量のリスクを関連付ける。
• 滑らかさの下で双対目的関数の漸近的挙動を解析することで、二乗ウォッシャー形式距離の中心極限定理を導出する。
• 集中不等式とモーメントバウンディングを用いて、経験的双対目的関数と期待値との差を制御し、分布収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経験測度に基づくプラグイン推定量は、輸送マップがリプシッツ連続性を満たす場合に最小最大最適レートを達成できるか？
• RQ2 非パラメトリック密度推定は、元の輸送マップがリプシッツより滑らかである場合に、より速い収束レートをもたらすか？
• RQ3 密度関数が滑らかである場合に、母集団値を中心にした二乗ウォッシャー形式距離のプラグイン推定量に対して中心極限定理を確立できるか？
• RQ4 ウォッシャー形式距離のプラグイン推定量のリスクは、ブレニエポテンシャルの安定性とどのように関係するか？
• RQ5 線形スムージングは、輸送マップ推定における最小最大最適性を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 経験測度間の最適結合に線形スムージングを適用したプラグイン推定量は、輸送マップがリプシッツ連続性を満たす場合に最小最大最適レートを達成する。
• 元のマップが滑らかさがより高い（例：α-ホルダークラスで α > 1）場合、非パラメトリック密度推定間の最適結合を用いることで、より速い収束レートが得られる。
• 二乗ウォッシャー形式距離のプラグイン推定量のリスクは有界であり、対数因子を除いて最小最大下界と一致するレートで収束する。
• 母集団値を中心にした二乗ウォッシャー形式距離のプラグイン推定量に対して、中心極限定理が確立され、密度関数が十分に滑らかである場合に収束が成立する。
• 解析により、経験的双対目的関数と期待値との差が、期待値において o(1/n) のレートで消えることが示され、漸近正規性が保証される。
• ウェーブレットおよびポアンカレ不等式技術を用いて、リプシッツ連続性および高階の滑らかさ仮定の下で、輸送マップ推定における最小最大最適性が達成され、明示的なレートが導出される。