[論文レビュー] Plurisubharmonic functions and subellipticity of the dbar-Neumann problem on nonsmooth domains

Emil J. Sträube|ArXiv.org|Jan 10, 1997

Holomorphic and Operator Theory被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、リプシッツ境界でかつ有限型の区分的滑らかさを持つ有界擬凸領域における $$\bar{\partial}$$-Neumann 問題について、部分的微分作用素の代数的成長を示すハッセリアンを持つ有界な強擬凸関数を構成することにより、境界データが滑らかでない場合でも、$$\bar{\partial}$$-Neumann作用素の弱微分性とコンパクト性を証明する。著者らは、部分領域における新しい正則化手続きを用いて、古典的な結果を滑らかでない設定へと拡張した。

ABSTRACT

We show subellipticity of the d-bar Neumann problem on domains with Lipschitz boundary in the presence of plurisubharmonic functions with Hessians of algebraic growth. In particular, a subelliptic estimate holds near a point where the boundary is piecewise smooth of finite type.

研究の動機と目的

• 滑らかまたは区分的滑らかな強擬凸領域における古典的結果を、境界がリプシッツ境界に限る場合にまで拡張し、境界がリプシッツ境界である有界擬凸領域における $$\bar{\partial}$$-Neumann 問題の弱微分性推移を確立すること。
• 境界が滑らかでない場合でも、ハッセリアンが $$\delta^{-\epsilon}$$ のように代数的に成長する単一の有界な強擬凸関数が存在すれば、弱微分性が成立することを示すこと。
• 定義域の境界が滑らかでない場合の問題に対処するため、滑らかな部分領域における $$\bar{\partial}$$-Neumann作用素を用いた正則化手法を開発すること。
• 境界に滑らかさの仮定を一切設けない領域に対しても、カトリンの古典的コンパクト性定理を拡張し、構築された強擬凸関数を用いること。
• 従来の研究で用いられていた関数族の代わりに、ハッセリアンの成長条件を満たす単一の関数を用いることで、非滑らか領域における弱微分性およびコンパクト性の結果を統一的かつ強化すること。

提案手法

• 境界点 $$P$$ の近傍で定義された単一の有界な強擬凸関数 $$\kappa$$ を用い、そのハッセリアンが $$dd^c\kappa \geq \text{const} \cdot \delta^{-\epsilon} dd^c|z|^2$$ として、$$\epsilon > 0$$ かつ $$\delta$$ を境界からの距離とする。
• 複素ラプラシアンの対角作用が、そのような形式に対して実ラプラシアンの倍数として作用することを用いて、弱微分性推移を、調和係数を持つ形式に還元すること。
• 強擬凸関数のハッセリアンの有界性を用いて、形式 $$u$$ の重み付き $$L^2$$-ノルム $$\|u\|_{L^2(\delta^{-\epsilon})}$$ を、$$\|\bar{\partial}u\|_0 + \|\bar{\partial}^*u\|_0$$ で支配すること。
• 重み付き $$L^2$$-ノルムが調和関数のソボレフノルムを制御できることを応用し、$$L^2$$-空間におけるコンパクト性の利用を可能にすること。
• 正則化手続き：リプシッツ領域上で定義された形式を、滑らかな部分領域に制限し、部分領域上で $$\bar{\partial}$$-Neumann作用素を用いて $$\bar{\partial}^*$$ の定義域に再び属するように修正し、極限に移行すること。
• $$L^2$$-空間における調和関数のコンパクト部分集合への制限のコンパクト性を用い、$$\|\bar{\partial}u_n\|_0 + \|\bar{\partial}^*u_n\|_0$$ の有界性から収束部分列が存在することを示し、$$\bar{\partial}$$-Neumann作用素のコンパクト性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界がリプシッツ境界に限る場合、滑らかな境界データを仮定せず、$$\bar{\partial}$$-Neumann 問題の弱微分性推移を確立できるか？
• RQ2 境界が滑らかでない場合でも、ハッセリアンが $$\delta^{-\epsilon}$$ のように代数的に成長する単一の強擬凸関数の存在が、弱微分性を示唆するのか？
• RQ3 カトリンの $$\bar{\partial}$$-Neumann作用素に関する古典的コンパクト性定理を、境界に滑らかさの仮定がない領域へと拡張できるか？
• RQ4 滑らかでない領域の滑らかな部分領域において、形式が $$\bar{\partial}^*$$ の定義域に属さない場合に、それを補う正則化手法は何か？
• RQ5 一様有界な関数族の代わりに、ハッセリアンの成長が制御された単一の関数を用いることで、弱微分性およびコンパクト性を導出できるか？

主な発見

• 有界擬凸領域がリプシッツ境界かつ有限型である場合、境界点の近傍で、$$dd^c\kappa \geq \text{const} \cdot \delta^{-\epsilon} dd^c|z|^2$$ として、$$\epsilon > 0$$ であるような有界な強擬凸関数 $$\kappa$$ が存在する限り、弱微分性推移が成立する。
• $$\bar{\partial}$$-Neumann作用素 $$N_q$$ は、すべての $$1 \leq q \leq n$$ に対して、境界がリプシッツ境界であっても、上記の強擬凸関数の条件が満たされていればコンパクトである。
• 滑らかな部分領域における $$\bar{\partial}$$-Neumann作用素を用いた正則化手続きにより、滑らかでない領域上での形式について、極限に移行することで重み付き $$L^2$$-ノルム推移が得られる。
• 一様有界な関数族の代わりに、ハッセリアンの成長が制御された単一の強擬凸関数を用いることで、弱微分性およびコンパクト性の条件が簡略化される。
• このような強擬凸関数の存在がコンパクト性を示すことを示すことにより、カトリンの古典的コンパクト性定理を境界に滑らかさの仮定がない場合へと拡張した。
• 強擬凸領域で境界がリプシッツである場合、$$(-\delta)^{-\epsilon}$$ との合成により、ハッセリアンの成長が $$\delta^{-\epsilon}$$ に達することができ、$$\epsilon < 1/2$$ に対して弱微分性が成立し、極限測度を用いることで $$\epsilon = 1/2$$ の可能性も示唆される。