[論文レビュー] Plurisubharmonic functions and the structure of complete Kähler manifolds with nonnegative curvature

Lei Ni, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Apr 7, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上で、連続な正則的・シュバルツヒューブ関数の熱流動近似法を確立し、そのような関数が部分対数的成長を示す場合、定数関数であることを証明する。主な貢献は、正則的・シュバルツヒューブ関数に対するリウヴィル型定理と、調和関数および正則関数のためのスプリッティング定理であり、非負の曲率とスカラー曲率の減衰条件を満たすケーラー多様体の構造定理に繋がる。

ABSTRACT

In this paper, we study global properties of continuous plurisubharmonic functions on complete noncompact Kähler manifolds with nonnegative bisectional curvature and their applications to the structure of such manifolds. We prove that continuous plurisubharmonic functions with reasonable growth rate on such manifolds can be approximated by smooth plurisubharmonic functions through the heat flow deformation. Optimal Liouville type theorem for the plurisubharmonic functions as well as a splitting theorem in terms of harmonic functions and holomorphic functions are established. The results are then applied to prove several structure theorems on complete noncompact Kähler manifolds with nonnegative bisectional or sectional curvature.

研究の動機と目的

• 非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上で、連続な正則的・シュバルツヒューブ関数の熱流動を研究すること。
• このような多様体上で部分対数的成長を示す正則的・シュバルツヒューブ関数に対してリウヴィル定理を証明すること。
• 多項式成長条件の下で調和関数および正則関数のためのスプリッティング定理を確立すること。
• 非負の正則バイセクショナル曲率をもつケーラー多様体の構造定理を導出すること、特にスカラー曲率の減衰制約を含むこと。
• より弱い点での仮定のもとで、曲率の減衰および正則関数の成長に関するギャップ定理を一般化すること。

提案手法

• 測地球上でのテンソルノルムの平均に関する弱い成長条件の下で、ヘルミート (1,1)-テンソル解に対する最大原理を構築すること。
• 間接的なカットオフ法とリー＝ヨウの熱核推定値を組み合わせ、連続な正則的・シュバルツヒューブ初期データをもつ熱方程式の解の成長を制御すること。
• 連続な正則的・シュバルツヒューブ関数が指数的でない2次成長を満たす場合、熱流動によるコンパクト集合上で一様に滑らかな正則的・シュバルツヒューブ関数に近似可能であることを証明すること。
• 熱流動近似を用いて、lim sup |u(x)| / log r(x) → 0 が r(x) → ∞ のとき成り立つならば、正則的・シュバルツヒューブ関数は定数関数であることを証明すること。
• リウヴィル定理を用いてスプリッティング定理を導出する：調和関数が r^{1+ε} よりも速く成長しない場合、多様体は等長的に M̃ × ℝ にスプリットし、その普遍被覆は正則的に M′ × ℂ にスプリットする。
• （FCD）条件の下で、Poincaré–Lelong 方程式 Δu = Ric を熱流動法により解き、これにより、Ric が一点で正であるとき、多項式成長を示す非定数正則関数が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上で、連続な正則的・シュバルツヒューブ関数は滑らかな正則的・シュバルツヒューブ関数に近似可能か？
• RQ2 このような多様体上で、正則的・シュバルツヒューブ関数の成長条件がどのようなものであると、リウヴィル性が成立するか？
• RQ3 調和関数が部分線形成長を示す場合、多様体が ℝ との積にスプリットする条件は何か？
• RQ4 スカラー曲率の減衰にどのような条件を課すと、非負の正則バイセクショナル曲率をもつケーラー多様体が平坦になるか？
• RQ5 非負の正則バイセクショナル曲率をもつケーラー多様体が、多項式成長を示す非定数正則関数をもつための条件は何か？

主な発見

• 任意の a, C > 0 に対して |u(x)| ≤ C exp(a r²(x)) を満たす連続な正則的・シュバルツヒューブ関数は、コンパクト部分集合上で熱流動による一様近似が滑らかな正則的・シュバルツヒューブ関数によって可能である。
• lim sup |u(x)| / log r(x) → 0 が r(x) → ∞ のとき成り立つならば、非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上では、正則的・シュバルツヒューブ関数は定数関数である。
• 調和関数 f がすべての ε > 0 に対して lim sup |f(x)| / r^{1+ε}(x) → 0 を満たすならば、多様体は等長的に M̃ × ℝ にスプリットし、その普遍被覆は正則的に M′ × ℂ にスプリットする。
• スカラー曲率 R に対して ∫₀ʳ s (∫_{Bₒ(s)} ||R|| dy) ds = o(log r) が成り立つならば、R ≡ 0 であり、（FCD）条件のもとで多様体は平坦である。
• （FCD）条件が成り立ち、Ric が一点で正であるとき、多様体は多項式成長を示す非定数正則関数をもち、十分大きな d に対して dim(𝒪_d(M)) ≥ δ d^m を満たし、ある δ > 0 が存在する。
• 多項式成長を示す非定数正則関数の存在は、多様体が（FCD）条件を満たすことを示唆し、以前の結果の部分的な逆を与える。