[論文レビュー] Plurisubharmonicity in a General Geometric Context

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、複素幾何学を超えて、対称行列空間における楕円的錐を用いて、一般化された幾何的および非幾何的設定へと、多重正調和性および凸性を拡張する。${\cal P}^{+}$-多重正調和関数の基礎的性質を確立し、Dirichlet問題の存在および一意性を証明し、${\cal P}_{+}$の自由次元を用いた位相的制約を導入することで、Andreotti-Frankel定理を一般化する。

ABSTRACT

Recently the authors have explored new concepts of plurisubharmonicity and pseudoconvexity, with much of the attendant analysis, in the context of calibrated manifolds. Here a much broader extension is made. This development covers a wide variety of geometric situations, including, for example, Lagrangian plurisubhamonicity and convexity. It also applies in a number of non-geometric situations. Results include: fundamental properties of $P^+$-plurisubharmonic functions, plurisubharmonic distributions and regularity, $P^+$-convex domains and $P^+$-convex boundaries, topological restrictions on and construction of such domains, continuity of upper envelopes, and solutions of the Dirichlet problem for related Monge-Ampere-type equations. Many results in this paper have been generalized in recent work of the authors. However, this article covers many cases of geometric interest, and certain convexity assumptions here allow the use of classical analytic methods, making the exposition more accessible.

研究の動機と目的

• 複素幾何学を超えて、楕円的錐によって定義される一般幾何的文脈へと、多重正調和関数の理論を拡張すること。
• キャリブレーション、シンプレクティック構造、その他の幾何的構造における多重正調和性と凸性の統一的枠組みを構築すること。
• ${\cal P}^{+}$-多重正調和関数の基礎的性質（正則性、上界包、分布的拡張など）を確立すること。
• この一般化された設定におけるMonge-Ampère型方程式のDirichlet問題を解くこと。
• ${\cal P}_{+}$の双対錐の自由次元を用いて、Andreotti-Frankel定理のような位相的結果を一般化すること。

提案手法

• ${\cal P}^{+}$-多重正調和関数を、$C^2$関数のヘッセ行列が閉凸な楕円的錐 ${\cal P}^{+} \subset {\rm Sym}^{2}({\bf R}^{n})$ に属するという条件により定義する。
• 分布へとこの概念を拡張し、それらが $L^1_{\rm loc}$ に属し、一意な上半連続代表元を持つことを証明する。
• Perron法を用いて、部分族関数の上界包を通じてDirichlet問題の解を構成する。
• ${\cal P}^{+}$-凸性の領域および境界を定義し、境界の厳密な ${\cal P}^{+}$-凸性が領域の凸性を示すことを示す。
• ${\cal P}_{+}$-自由部分空間および部分多様体を定義し、${\cal P}_{+}$の自由次元 $\text{fd}({\cal P}_{+})$ を用いて、${\cal P}^{+}$-凸領域のホモトピー型を制限する。
• Gårdingの超曲率多項式およびMA作用素の理論を応用し、楕円性を特徴づけ、Monge-Ampère方程式の存在結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重正調和性の概念を、キャリブレーション構造やシンプレクティック構造を含む複素幾何学を超えた文脈へどのように一般化できるか？
• RQ2 ${\cal P}^{+}$-多重正調和関数のDirichlet問題が解をもつ条件は何か？また、解の一意性はいつ成立するか？
• RQ3 ${\cal P}^{+}$-凸領域に課される位相的制約は何か？また、それらは双対錐 ${\cal P}_{+}$ の自由次元とどのように関係するか？
• RQ4 最大値原理や一様極限における安定性といった、古典的多重正調和関数の性質が、この一般化された設定へとどのように拡張されるか？
• RQ5 楕円的錐およびMA作用素が、Monge-Ampère型方程式の解の存在および正則性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 関数 $u \in C^2(X)$ が ${\cal P}^{+}$-多重正調和であるための必要十分条件は、すべての $\xi$ について、コン pact 集合 $G \subset G(p,\mathbb{R}^n)$ 内で $\operatorname{tr}_\xi(\operatorname{Hess}_x u) \geq 0$ が成り立つことである。これは、ラグランジュ的および特別ラグランジュ的部分多様体のような幾何的文脈へ一般化する。
• ${\cal P}^{+}$-多重正調和関数の集合は、点ごとの最大値、減少極限、一様極限に関して閉じており、局所的に有界な族の上半連続正則化も依然として ${\cal P}^{+}$-多重正調和関数のままである。
• 領域 $X$ が ${\cal P}^{+}$-凸であるための必要十分条件は、厳密な ${\cal P}^{+}$-多重正調和関数のエクhaustion関数が存在することである。これは、複素解析における擬凸性の概念を一般化する。
• コンパクト領域 $\Omega$ の境界 $\partial\Omega$ が厳密に ${\cal P}^{+}$-凸であるならば、$\Omega$ 自身も ${\cal P}^{+}$-凸である。
• ${\cal P}_{+}$ の自由次元 $\text{fd}({\cal P}_{+})$ は、${\cal P}_{+}$-自由部分空間の最大次元であり、任意の ${\cal P}^{+}$-凸領域は、次元が高々 $\text{fd}({\cal P}_{+})$ のCW複体のホモトピー型を持つ。これは、Andreotti-Frankel定理を一般化する。
• ${\cal P}^{+}$-多重正調和関数のDirichlet問題は、適切な境界条件のもとで一意解を持つ。領域が ${\cal P}^{+}$-凸であれば、Perron法により解の存在が保証される。