[論文レビュー] Pointed and copointed Hopf algebras as cocycle deformations

L. Grünenfelder, Mitja Mastnak|ArXiv.org|Sep 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、アンドルスキーイヴィッチ＝シュナイダー分類における同じ図式をもつすべての有限次元点付きホップ代数が、互いにコサイクル変形であることを証明している。braided Hopf代数を用いた特徴付けと、モリタ＝タケウチ同値およびホップガロア拡張理論を応用することで、変形がホッホシルドコhomologyに従うことを示し、双対性を用いてコポイントドホップ代数へ拡張している。

ABSTRACT

We show that all finite dimensional pointed Hopf algebras with the same diagram in the classification scheme of Andruskiewitsch and Schneider are cocycle deformations of each other. This is done by giving first a suitable characterization of such Hopf algebras, which allows for the application of a result of Masuoka about Morita-Takeuchi equivalence and of Schauenburg about Hopf Galois extensions. The "infinitesimal" part of the deforming cocycle and of the deformation determine the deformed multiplication and can be described explicitly in terms of Hochschild cohomology. Applications to, and results for copointed Hopf algebras are also considered.

研究の動機と目的

• アンドルスキーイヴィッチ＝シュナイダー分類における同型な図式をもつすべての有限次元点付きホップ代数が、互いにコサイクル変形であることを確立すること。
• モリタ＝タケウチ同値およびホップガロア拡張理論への適用に適した、このようなホップ代数の特徴付けを提供すること。
• 双対性を用いて、変形枠組みを、根基がホップイデアルで商が群代数であるようなコポイントドホップ代数へ拡張すること。
• ホッホシルドコhomologyを用いて、変形の無限小部分を明示的に記述すること。
• 乗法および余乗法の両方の変形が、畳み込み可逆なコサイクルから生じることを、コhomologicalな設定で形式化すること。

提案手法

• 有限次元カタン型 $ kG $-加群 $ V $ に対して、$ B(V) \# kG $ の形のリフトとして点付きホップ代数を特徴付ける。
• マスウカのプッシュアウト構成を用いて、同型な図式をもつリフト同士のモリタ＝タケウチ同値を確立する。
• シュアウエンブルクのホップガロア拡張理論を用いて、モリタ＝タケウチ同値なホップ代数が互いにコサイクル変形であることを示す。
• 畳み込み可逆なコサイクルを用いて変形を形式的にモデル化し、無限小部分をホッホシルドコhomologyに置く。
• 変形された乗法および余乗法が、$ B(V) $ もしくは $ H(V) $ の $ G $-不変ホッホシルドコサイクルに対応することを関連付ける。
• 構成を双対化して、余乗法の変形を用いてコポイントドホップ代数を得る。ここで $ \mathrm{gr}_a H \cong H(V) $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンドルスキーイヴィッチ＝シュナイダー分類における同じ図式をもつすべての有限次元点付きホップ代数は、互いにコサイクル変形であるか？
• RQ2 ニコルズ代数のリフト問題はコサイクル変形によって解けるか？ そしてこれはホッホシルドコhomologyとどのように関係するか？
• RQ3 モリタ＝タケウチ同値は、同じニコルズ代数の異なるリフトをどのように結びつけるか？
• RQ4 コサイクル変形の無限小部分は、変形された乗法および余乗法をどのように決定するか？
• RQ5 点付きとコポイントドホップ代数の双対性は、乗法および余乗法のコサイクル変形によって形式化可能か？

主な発見

• 同型な関連する順次ホップ代数 $ \mathrm{gr}_c H $ をもつすべての有限次元点付きホップ代数は、互いにコサイクル変形である。
• コサイクル変形の無限小部分は、$ H^2(B(V), k) $ の $ G $-不変部分に属するホッホシルド2次コサイクルであり、変形された乗法を決定する。
• コポイントドホップ代数の場合、余乗法の変形は畳み込み可逆な余代数コサイクルに従い、無限小部分は $ H^2(H(V), k)^G $ に属する。
• $ b \neq 0 $ のとき、$ g^{p^2}=1, gx=qxg, gy=q^{-1}yg, [x,y]=b(g^2-1), x^p = a(g^p-1), y^p = b(g^p-1) $ で定義されるホップ代数は、$ G(H^*) $ が自明であり、非自明な表現論を示す。
• $ g^p=1, x^p=y^p=0, [x,y]=b(g^2-1) $ の場合、$ b \neq 0 $ ならば、この代数は正確に $ p $ 個の既約表現を持ち、それぞれの次元が $ 1 $ から $ p $ までである。
• $ G $ が位数 $ n=rs $ の巡回群で、$ \gcd(r,s)=1 $、$ a,c \neq 0 $ のとき、$ s $ が奇数ならば $ G(H^*) $ は自明であり、$ s $ が偶数ならば $ |G(H^*)|=2 $ である。