[論文レビュー] Pointless curves of genus three and four

Everett W. Howe, Kristin Lauter+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有限体 𝔽_q において、有理点を持たない genus 3 または 4 の曲線が存在するかどうかを正確に特定する。すなわち、有理点を持たない滑らかで、射影的で、代数的閉包上で既約な曲線である。Weil と Serre の境界を用いて候補となる体を制限し、有理点を持たない genus 3 の曲線が存在するのは q ≤ 25 または q = 29 または 32 の場合に限られ、有理点を持たない genus 4 の曲線が存在するのは q ≤ 49 の場合に限られることを証明する。代数幾何学的手法と計算手法による明示的構成と非存在証明により、結果が確認される。

ABSTRACT

A curve over a field k is pointless if it has no k-rational points. We show that there exist pointless genus-3 hyperelliptic curves over a finite field F_q if and only if q < 26, that there exist pointless smooth plane quartics over F_q if and only if either q < 24 or q = 29 or q = 32, and that there exist pointless genus-4 curves over F_q if and only if q < 50.

研究の動機と目的

• 有理点を持たない genus 3 または 4 の曲線が存在する有限体 𝔽_q をすべて特定すること。
• Weil の境界の補完的問題を解くこと：𝔽_q 上の genus-g 曲線における有理点の最小数は何か。
• 存在するすべてのこのような体において、genus 3 および 4 の有理点を持たない曲線の明示的構成を提供すること。
• 代数幾何学的手法と計算代数システムを用いて、特定の有限体において有理点を持たない曲線が存在しないことを証明すること。

提案手法

• Weil および Serre の境界を適用して、有理点を持たない genus 3 または genus 4 の曲線が存在しうる有限体 𝔽_q を制限する。
• 境界以内の各候補 q に対して、[8] に含まれる手法（ゼータ関数やクラス体論など）を用いて、明示的構成または非存在証明を行う。
• 計算代数システム Magma を用いて、明示的計算（例えば、ヘルミート形式の同型類や曲線のモデル）を実行する。
• 多項方程式を用いて、有理点を持たない曲線として、genus 3 の超楕円曲線および滑らかな平面四次曲線を構成する。
• genus 4 の曲線については、三角的モデルや楕円曲線の二重被覆を用いて例を構成し、特に特徴が 2 の体において重点を置く。
• 対称性や自己同型群（例えば、Klein 4 群）を活用して、モデルの構成を簡略化し、性質の検証を容易にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限体 𝔽_q においても、有理点を持たない genus 3 の曲線が存在するか。
• RQ2 どの有限体 𝔽_q においても、有理点を持たない genus 4 の曲線が存在するか。
• RQ3 q = 25 または q = 31 のとき、有理点を持たない滑らかな平面四次曲線が存在するか。
• RQ4 𝔽_29 や 𝔽_32 において、有理点を持たない genus 3 の超楕円曲線が存在するか。
• RQ5 有理点を持たない genus 4 の曲線が存在する最大の q は何か。

主な発見

• 有理点を持たない genus 3 の超楕円曲線が 𝔽_q に存在するための必要十分条件は、q ≤ 25 である。
• 有理点を持たない滑らかな平面四次曲線が 𝔽_q に存在するための必要十分条件は、q ≤ 23 または q = 29 または q = 32 である。
• 有理点を持たない genus 3 の曲線が 𝔽_q に存在するための必要十分条件は、q ≤ 25 または q = 29 または q = 32 である。
• 有理点を持たない genus 4 の曲線が 𝔽_q に存在するための必要十分条件は、q ≤ 49 である。
• 𝔽_53 や 𝔽_59 には有理点を持たない genus 4 の曲線が存在せず、q = 49 における境界が正当化される。
• 関連する有限体において、すべての有理点を持たない genus 3 および genus 4 の曲線について、明示的なモデル（三角的および超楕円的形）が提供されている。