[論文レビュー] Poisson cohomology and quantization

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 30被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Kähler微分の加群上に(R,A)-Lie代数構造を構成することによって、可換環R上のPoisson代数のPoissonコホモロジーおよびホモロジーの統一的代数的枠組みを導入する。これは古典的PoissonコホモロジーおよびPoisson多様体の標準的ホモロジーを一般化し、微分作用素代数上のExtおよびTor群として同定する。また、シンプレクティック形式類を一般化する閉2次形式（Poisson類）を導入し、量子理論における量子化に不可欠な線形表現の構成を可能にする。

ABSTRACT

Let R be a commutative ring, and let A be a Poisson algebra over R. We construct an (R,A)-Lie algebra structure, in the sense of Rinehart, on the A-module of Kähler differentials of A depending naturally on A and the Poisson bracket. This gives rise to suitable algebraic notions of Poisson homology and cohomology for an arbitrary Poisson algebra. A geometric version thereof includes the canonical homology and Poisson cohomology of a Poisson manifold introduced by Brylinski, Koszul, and Lichnerowicz, and absorbes the latter in standard homological algebra by expressing them as Tor and Ext groups, respectively, over a suitable algebra of differential operators. Furthermore, the Poisson structure determines a closed 2-form in the complex computing Poisson cohomology. This 2-form generalizes the 2-form defining a symplectic structure on a smooth manifold; moreover, the class of that 2-form in Poisson cohomology generalizes the class in de Rham cohomology of a symplectic structure on a smooth manifold and appears as a crucial ingredient for the construction of suitable linear representations of A, viewed as a Lie algebra; representations of this kind occur in quantum theory. To describe this class and to construct the representations, we relate formal concepts of connection and curvature generalizing the classical ones with extensions of Lie algebras. We illustrate our results with a number of examples of Poisson algebras and with a quantization procedure for a relativistic particle with zero rest mass and spin zero.

研究の動機と目的

• 可換環R上の任意のPoisson代数に対するPoissonコホモロジーおよびホモロジーの一般的代数的理論の構築。
• 微分作用素代数上のホモロジー代数を用いて、Poisson多様体の標準的ホモロジーおよびPoissonコホモロジーの概念を一般化すること。
• Poissonコホモロジーにおける閉2次形式（Poisson類）を、シンプレクティック形式のde Rham類を一般化するものとして同定すること。
• 一般化された曲率および接続概念を用いて、Poisson代数をLie代数として見る線形表現を構成すること。
• 相対論的スピンゼロ粒子（静止質量ゼロ）に対する量子化手順への適用。

提案手法

• Poisson括弧を用いて、A-加群Kähler微分D_A上に(R,A)-Lie代数構造を構成する。
• Poissonコホモロジーを、(R,A)-Lie代数D_{\{\cdot,\cdot\}}上の交代的A-多重線形形式の複体のホモロジーとして定義する。
• Poissonコホモロジー複体に、Poisson類を表す自然な閉2次形式π_{\{\cdot,\cdot\}}を導入する。
• 一般化された接続および曲率概念を用いて、Poisson類をLie代数の拡張に関連付ける。
• Poisson類を用いて、Poisson代数をLie代数として見たときの線形表現を構成する。
• フレームワークを相対論的粒子モデルに適用し、波動関数のヒルベルト空間上での特定の表現を通じて、量子観測量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環上の任意のPoisson代数に対して、Poissonコホモロジーおよびホモロジーを代数的に定義する方法は何か？
• RQ2 PoissonコホモロジーにおけるPoisson類は、de Rhamコホモロジーにおけるシンプレクティック形式類をどのように一般化するか？
• RQ3 Lie代数拡張における一般化された接続および曲率を用いて、Poisson代数の表現を構成できるか？
• RQ4 提案された枠組みは、古典的Poissonコホモロジーと微分作用素代数上の標準的ホモロジー代数をどのように統一するか？
• RQ5 この代数的構造は、スピンゼロの相対論的系（例：静止質量ゼロの粒子）に対して物理的に意味のある量子化をもたらすか？

主な発見

• Poisson代数(A, {·,·})のPoissonコホモロジーは、U(A,L)におけるExt^*_{U(A,L)}(A,A)と同型である。ここでU(A,L)は(R,A)-Lie代数L = D_{\{\cdot,\cdot\}}に付随する微分作用素の普遍代数である。
• PoissonコホモロジーH^2_{Poisson}(A, {·,·}; A)に属するPoisson類[π_{\{\cdot,\cdot\}}]は、多様体上のシンプレクティック形式のde Rham類[σ]を一般化する。
• 閉2次形式π_{\{\cdot,\cdot\}}はPoisson括弧から自然に構成され、コホモロジー複体内での曲率に類似した不変量を定義する。
• Poisson類および一般化された接続理論を用いて、Poisson代数をLie代数として見たときの線形表現が構成される。
• 静止質量ゼロでスピンゼロの相対論的粒子に対して、この構成はヒルベルト空間上の自己共役作用素をもたらし、完全なハミルトニアンベクトル場がユニタリな時間発展を誘導する。
• ブーストや角運動量成分といった観測量は、公式ĥa[ϕ] = [â e^{−i⟨·,·⟩}] により量子化される。ここでâはPoisson括弧から導かれる微分作用素である。