[論文レビュー] Poisson-Dirac branes in Poisson-Sigma models

I. Calvo, Fernando Falceto|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Poisson-Sigma模型における境界条件を、coisotropic brane 以上の一般化し、Poisson-Dirac brane（Poisson括弧がDirac制約量子化によって縮小される部分多様体）を含める。ハミルトニアンおよびラグランジュ形式を用いて、位相空間の構造がbran上で定義されたDirac括弧によって支配されることを示し、ディスク上での摂動的量子化がDirac括弧に対するKontsevichのスター積を生成すると予想する。これはCattaneo-Felderの結果をcoisotropic braneを超えて拡張するものである。

ABSTRACT

We analyse the general boundary conditions (branes) consistent with the Poisson-sigma model and study the structure of the phase space of the model defined on the strip with these boundary conditions. Finally, we discuss the perturbative quantization of the model on the disc with a Poisson-Dirac brane and relate it to Kontsevich's formula for the deformation quantization of the Dirac bracket induced on the brane.

研究の動機と目的

• Poisson-Sigma模型における境界条件を、coisotropic brane を超えてPoisson-Dirac brane を含むように一般化すること。
• 一般境界条件を課したストリップ上での模型の位相空間構造を分析すること。
• ディスク上にPoisson-Dirac brane を持つ模型の摂動的量子化を調査すること。
• この量子化が、bran上で誘導されるDirac括弧に対するKontsevichのスター積を再現すると予想すること。
• 境界ゲージ対称性に起因する量子化における技術的困難を、定秩Poisson-Dirac brane に注目することで解決すること。

提案手法

• 目標Poisson多様体上の一般境界条件を解析するため、ラグランジュ形式およびハミルトニアン形式の両方で形式的枠組みを構築する。
• 作用の変分における境界項の消滅を要請することで境界条件を導出し、1形式場 ψ の法線成分および接線成分に制約を課す。
• 境界におけるゲージ変換の構造を分析し、Poisson-Dirac brane では境界ゲージ対称性が存在しないことを示し、量子化を単純化する。
• 還元を用いて位相空間を構成し、それがbran上で定義されたDirac括弧を備えた関数のPoisson代数と同型であることを示す。
• 摂動的量子化を再定義し、零Poisson構造極限でのプロパゲーターの失敗を避けるために非自明な非摂動的作用を選ぶ。
• Poisson構造が定数となるbranに適した座標系で、変形量子化の明示的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poisson-Sigma模型は、coisotropic brane を超えてPoisson-Dirac brane を含む境界条件を一貫して扱えるか？
• RQ2 模型の位相空間構造は、元のM上のPoisson構造ではなく、bran上で縮小されたPoisson括弧にどのように依存するか？
• RQ3 境界ゲージ対称性は、模型の摂動的量子化にどのような役割を果たし、計算を単純化するためにどのように排除できるか？
• RQ4 ディスク上にPoisson-Dirac brane を持つ模型の摂動的量子化は、bran上で誘導されるDirac括弧に対するKontsevichのスター積を再現するか？
• RQ5 標準的な展開が失敗する状況において、非摂動的作用を再定義することで一貫した摂動的量子化を定義できるか？

主な発見

• Poisson-Dirac brane を持つPoisson-Sigma模型の位相空間は、Dirac括弧を備えたbran上の関数のPoisson代数と同型である。
• 境界条件は、ψ_t が余接バンドルとPoisson反変写像による接バンドルの逆像の共通部分に位置することを要請し、運動方程式と整合的であることを保証する。
• Poisson-Dirac brane では境界におけるゲージ変換が消えるため、coisotropicの場合に見られる量子化の技術的障害が排除される。
• 位相空間上のPoisson括弧は、bran上でのDirac括弧として与えられ、{F₁, F₂}_P = Γ^{ij}ϵ₁i(0)ϵ₂j(0) という関係式により示される（ゲージ不変関数に対して）。
• Poisson構造が定数となるbranに適した座標系では、摂動的量子化がDirac括弧に対するKontsevichのスター積を生成する。
• 著者らは、この結果が一般のPoisson構造およびPoisson-Dirac brane に拡張可能であり、修正された作用分解により一貫した量子化スキームが得られると予想する。