[論文レビュー] Poisson-Lie T-duality for quasitriangular Lie bialgebras

Edwin Beggs, Shahn Majid|ArXiv.org|Jun 7, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、準三角的リーバイアゲブラ上のポisson-リーT双対性を有する2パラメータ族の2次元スカラー場理論を導入する。ラグランジアン $ L = E(u^{-1}u_+, u^{-1}u_-) $ において一般化計量 $ E $ が定数であることが特徴で、これにより力学の簡略化が達成される。主な貢献は、$ G $-不変なグローバルな記述と、$ SU_2 $ 及びその双対に対する明示的モデルの構築であり、ドリンフェルト双対の枠組みを超えてハミルトニアンT双対性を一般化し、次元的・双対的制約なしに群の分解を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a new 2-parameter family of sigma models exhibiting Poisson-Lie T-duality on a quasitriangular Poisson-Lie group $G$. The models contain previously known models as well as a new 1-parameter line of models having the novel feature that the Lagrangian takes the simple form $L=E(u^{-1}u_+,u^{-1}u_-)$ where the generalised metric $E$ is constant (not dependent on the field $u$ as in previous models). We characterise these models in terms of a global conserved $G$-invariance. The models on $G=SU_2$ and its dual $G^\star$ are computed explicitly. The general theory of Poisson-Lie T-duality is also extended; we develop the Hamiltonian formulation and the reduction for constant loops to integrable motion on the group manifold. Finally, we generalise T-duality in the Hamiltonian formulation to group factorisations $D=G\dcross M$ where the subgroups need not be dual or even have the same dimension and need not be connected to the Drinfeld double or to Poisson structures.

研究の動機と目的

• 準三角的リーバイアゲブラ上にポアソン-リーT双対性を示す新しい2次元スカラー場理論の構築。
• 標準的なドリンフェルト双対の枠組みを超えて、T双対性のハミルトニアン形式を一般化すること。
• 場の関数に依存しない定数一般化計量 $ E $ を有するモデルの開発により、力学の簡略化を実現すること。
• グローバル $ G $-不変性によるモデルの特徴づけと、群多様体上の可積分系への還元。
• ドリンフェルト双対に依存しない、双対でなく、次元が等しくなく、連結でない部分群を含む群の分解 $ D = G \dcross M $ へのT双対性の拡張。

提案手法

• 一般化計量 $ E $ を用いた、準三角的ポアソン-リー群 $ G $ 上の2パラメータ族のスカラー場理論の構築。ラグランジアンは $ L = E(u^{-1}u_+, u^{-1}u_-) $ で与えられる。
• ラグランジアンがグローバル $ G $-作用に対して不変であることを保証し、これにより物理的に整合したモデルとして特徴づける。
• $ G = SU_2 $ 及びその双対 $ G^* $ に対して明示的にモデルを計算し、形式主義を具体的な事例で検証する。
• ポアソン-リーT双対性のハミルトニアン形式を構築し、定数ループ配置への還元を含む。
• 群の分解 $ D = G \dcross M $ を用いて、T双対性を双対でなく、次元が等しくなく、非連結な部分群に対しても一般化する。
• 準三角的リーバイアゲブラの構造を用いてポアソン-リー構造と双対関係を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場の関数に依存しない定数一般化計量 $ E $ を有する2次元スカラー場理論を構築可能か。その際、ポアソン-リーT双対性を保つことができるか。
• RQ2 標準的なドリンフェルト双対構造を超えて、ポアソン-リーT双対性をハミルトニアン枠組みでどのように定式化できるか。
• RQ3 グローバル $ G $-不変性は、整合的なポアソン-リーT双対モデルを特徴づける上で果たす役割は何か。
• RQ4 $ G $ と $ M $ が双対でなく、次元が等しくなく、連結でない場合の群の分解 $ D = G \dcross M $ に対してもT双対性をどのように拡張できるか。
• RQ5 $ SU_2 $ 及びその双対 $ G^* $ 上のスカラー場理論の明示的形は何か。また、それらは提示された形式主義をどのように実現するか。

主な発見

• 本稿では、場の関数に依存しない定数一般化計量 $ E $ を有する1パラメータ族のモデルを構築した。これは、従来のモデルで $ E $ が場 $ u $ に依存していたのとは異なり、新規な特徴である。
• モデルはグローバル $ G $-不変性を有しており、物理的に整合的で可積分系として特徴づけられる。
• $ G = SU_2 $ 及びその双対 $ G^* $ に対して明示的な計算が行われ、モデル構造と双対性が具体的な設定で確認された。
• ポアソン-リーT双対性のハミルトニアン形式が構築され、定数ループ配置への還元を含む、群多様体上での可積分運動への還元が達成された。
• T双対性が、双対でなく、次元が等しくなく、非連結な部分群を含む任意の群の分解 $ D = G \dcross M $ に対しても一般化された。
• 形式主義はドリンフェルト双対を越えて、より広範な代数的・幾何的設定においてT双対性を可能にする。