[論文レビュー] Poisson reduction as a coisotropic intersection

Pavel Safronov|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2015

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、シフトされたポisson代数における余コイサイトロピックな準同型の導来的一般化を導入し、二つのこのような準同型の導来的交叉が、シフトが1つ小さいポアソン構造を備えることを示している。また、ポアソン還元の古典的BRST複体と余コイサイトロピック交叉を計算する複体との間の準同型を確立し、ブラケット代数とその加群を用いて量子版へと拡張している。

ABSTRACT

We give a definition of coisotropic morphisms of shifted Poisson (i.e. $P_n$) algebras which is a derived version of the classical notion of coisotropic submanifolds. Using this we prove that an intersection of coisotropic morphisms of shifted Poisson algebras carries a Poisson structure of shift one less. Using an interpretation of Hamiltonian spaces as coisotropic morphisms we show that the classical BRST complex computing derived Poisson reduction coincides with the complex computing coisotropic intersection. Moreover, this picture admits a quantum version using brace algebras and their modules: the quantum BRST complex is quasi-isomorphic to the complex computing tensor product of brace modules.

研究の動機と目的

• シフトされたポアソン代数の余コイサイトロピックな準同型を、古典的余コイサイトロピック部分多様体の導来的一般化として定義すること。
• 二つの余コイサイトロピックな準同型の導来的交叉が、シフトが1つ小さいポアソン構造を備えることの証明。
• 導来ポアソン還元のBRST複体と余コイサイトロピック交叉を計算する複体との間の準同型の確立。
• ブラケット代数とその加群を用いて、古典的構図を量子的状況へと拡張すること。

提案手法

• 余コイサイトロピック構造を、$\mathbb{P}_{n+1}$-準同型 $A \to \mathrm{Z}(B)$ としてモデル化し、$\mathrm{Z}(B)$ を $B$ の導来ポアソン中心とする。
• コーサル双対性を用いて、導来テンソル積 $B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$ を双対側での非導来コテンソル積に関連付ける。
• バー複体の構成を用いて、$\mathbb{P}_{n+1}$-代数に誘導された $\mathbb{P}_n$-構造を持つコボル代数を定義する。
• 導来中心 $\mathrm{Z}(B)$ 上のショウテン bracket を用いて、導来中心上に明示的な $\mathbb{P}_{n+1}$-構造を定義する。
• ハミルトニアン還元における導来商の解体としてBRST複体を構成し、余コイサイトロピック交叉複体と同定する。
• $\hbar=0$ の極限を適用して、バー複体上の量子的 $\widehat{\mathbb{BD}}_0$-構造から、定理1.18における古典的 $\widehat{\mathbb{P}}_0$-構造を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余コイサイトロピック部分多様体は、シフトされたポアソン代数の導来的設定においてどのように一般化できるか？
• RQ2 二つの余コイサイトロピックな準同型の導来的交叉がどのような構造を備えるか？
• RQ3 導来ポアソン還元のBRST複体は、余コイサイトロピック交叉を計算する複体と準同型か？
• RQ4 ブラケット代数を用いて、古典的余コイサイトロピック交叉の図式を量子的状況へと持ち上げることは可能か？
• RQ5 シフトされたポアソン構造の文脈において、ポアソン中心の構成とコーサル双対コボル代数の関係は何か？

主な発見

• 代数 $A$ が $\mathbb{P}_{n+1}$-代数であるとき、二つの余コイサイトロピックな準同型 $A \to B_1$ と $A \to B_2$ の導来的交叉 $B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$ は、ホモトピー的 $\mathbb{P}_n$-構造を備える。
• 自然な射影 $B_1^{\mathrm{op}} \otimes B_2 \to B_1 \otimes_A^\mathbb{L} B_2$ は $\mathbb{P}_n$-準同型である。
• ハミルトニアン還元のBRST複体は、モーメント写像の準同型の余コイサイトロピック交叉を計算する複体と準同型である。
• 量子的BRST複体は、$\mathbb{BD}_1$-代数上のブラケット加群のテンソル積を計算する複体と準同型である。
• $\widehat{\mathbb{BD}}_0$-構造の $\hbar=0$ 極限が、二重バー複体上で古典的 $\widehat{\mathbb{P}}_0$-構造を回復する。
• $\mathrm{Z}(B)$ を $\mathrm{Hom}(\mathrm{co}\mathbb{BD}_1(B), B)$ として、$\mathbb{BD}_1$-構造によるねじれを施した形で構成することで、導来ポアソン中心の明示的実現が得られる。