[論文レビュー] Poly-locality in quantum computing

Michael Freedman|ArXiv.org|Jan 21, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、量子計算における多局所ユニタリ変換のフレームワークを導入し、ショアの因数分解アルゴリズムを含む主要な量子アルゴリズムが多局所フーリエ変換に依存していることを示している。本稿では、離散直交ウェーブレット変換（ダービーチェス変換を含む）が多局所的であることを証明し、量子コンピュータ上で効率的に実装可能であることを示している。さらに、多局所性のわずかな破れが一方向関数の存在を崩すことから、多局所性が根本的な物理的制約であることを強化している。

ABSTRACT

A polynomial depth quantum circuit effects, by definition a poly-local unitary transformation of tensor product state space. It is a physically reasonable belief [Fy][L][FKW] that these are precisely the transformations which will be available from physics to help us solve computational problems. The poly-locality of discrete Fourier transform on cyclic groups is at the heart of Shor's factoring algorithm. We describe a class of poly-local transformations, including all the discrete orthogonal wavelet transforms in the hope that these may be helpful in constructing new quantum algorithms. We also observe that even a rather mild violation of poly-locality leads to a model without one-way functions, giving further evidence that poly-locality is an essential concept.

研究の動機と目的

• 多局所ユニタリ変換が量子計算において根本的な物理的制約として果たす役割を形式化し分析すること。
• 離散直交ウェーブレット変換（ダービーチェス変換を含む）が多局所的であり、したがって量子コンピュータ上で効率的に実装可能であることを示すこと。
• 一方向関数の存在にとって多局所性が不可欠であることを示し、わずかな多局所性の破れが暗号セキュリティを破壊することを示すこと。
• 位相符号化量子回路による連続変換の可能性を検討し、離散化されたベクトル変換を超えた効率的量子計算を拡張すること。

提案手法

• 各項が定数個のキュービットに作用する多項式個の局所項の和として定義される多局所ハミルトニアンを導入し、物理的に実現可能な量子力学的時間発展をモデル化すること。
• ソロベイ＝キタイェフ定理と量子回路合成を用いて、このようなハミルトニアンの時間発展を量子ゲートの積による近似で実現すること。
• アダマール変換を含む循環的周期的ニア対角行列を、アドオンキュービットを必要とせずに明示的な量子回路として構築すること。
• 離散変換出力を複素位相の重ね合わせに埋め込むための位相符号化技術を導入し、連続変換の効率的シミュレーションを可能にすること。
• 準等長歪み解析を用いて、単位円上の離散化された弧による離散的変換ターゲットの近似を正当化すること。
• 任意の効率的なベクトル化された実装を有する変換について、出力値の位相符号化により連続版への拡張が可能であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散直交ウェーブレット変換は、多局所量子回路として効率的に実装可能か？
• RQ2 多局所性は、特に一方向関数の存在に関連して、量子コンピュータの計算能力にどのような影響を及えるか？
• RQ3 連続版の量子変換は、量子回路を用いてどのように効率的にシミュレート可能か？
• RQ4 物理的に実現可能な量子計算にとって、多局所構造はどの程度不可欠か？
• RQ5 ベクトル化されたフーリエ変換およびウェーブレット変換は、量子計算における連続信号処理タスクに一般化可能か？

主な発見

• ショアの因数分解アルゴリズムの根幹をなす巡回群上の離散フーリエ変換は多局所的であり、群の位数 m に対して log(m) の多項式個の量子ゲートで実装可能である。
• ダービーチェス変換 D2n を含む、すべての標準的な離散直交ウェーブレット変換が多局所的であることが証明され、量子コンピュータ上での効率的実装が可能である。
• 量子時間発展における多局所性のわずかな破れは、一方向関数の非存在を意味し、多局所性が安全な暗号に不可欠な物理的原理であることを示唆している。
• 位相符号化法により、効率的なベクトル化実装を有する任意の変換の連続版を効率的な量子回路として構築可能である。
• 出力値の位相符号化による連続変換近似は、離散版と同一の回路深さを維持し、連続変換出力の効率的サンプリングを可能にしている。
• 量子変換のベクトル化特性（関数値を独立した基底状態として扱う）により、置換のもとでも周期性が保たれることから、ショアのアルゴリズムで活用されている重要な特徴が得られる。