[論文レビュー] Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area

Rolf Walter|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Mathematics and Applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、固定された辺長をもつ双曲多角形のうち、最大面積をとるものが存在することを確立している。その最大面積をとる多角形は、向き付けられた凸かつ共円（頂点が円、直線、またはアポロニウス円上）であるか、または同一直線上に並んでいる。最大面積は共円で向き付けられた凸多角形では正であり、同一直線上の場合はゼロであり、双曲等長変換を除いて一意的である。この結果は、距離幾何学とケイリー・クラインモデルに基づく符号付き面積公式を用いて、オイラーの面積最大化定理を双曲幾何に拡張したものである。

ABSTRACT

This second part on polygons in the hyperbolic plane is based on the first part which deals with uniqueness and existence of cocyclic polygons with prescribed sidelengths. The topic here is the maximum question for the area of these polygons. It is shown that the maximal copies must be cocyclic and oriented-convex or have a special collinear shape. The maximal copies are unique up to rigid hyperbolic motions. The cocyclicity means that the vertices are situated on a distance circle, a distance line or a horocycle, the three types of cycles in the hyperbolic plane. The phenomenon of different circle types stands in salient contrast to the Euclidean case and pays for various difficulties in the hyperbolic discussion.

研究の動機と目的

• 固定された辺長をもつ双曲多角形が最大面積に達するかどうかを特定すること。
• 双曲平面上におけるそのような最大面積多角形の幾何的構成を特徴づけること。
• 最大面積が正またはゼロとなる条件を確立し、最大面積多角形が一意的かどうかを明らかにすること。
• 相似形の存在しない双曲幾何において、角と面積の関係が非ユークリッド的であることに起因する新規現象を考慮し、ユークリッド幾何における面積最大化の結果を双曲幾何に拡張すること。

提案手法

• 双曲平面上の多角形の面積は、1次形式 ω を用いて導かれる符号付き面積関数から計算され、面積 = ∫_K ω として、向き付けられた境界 K に沿って積分される。
• 明示的な公式（「パラシュート公式」）により、符号付き面積は、正規化された点ベクトルと、擬ユークリッドモデルにおけるスカラー三重積 [a,b,c] を用いて表される。
• ケイリー・クラインモデルが用いられ、測地線は単位円板の弦として表され、計量は (1−ξ²−η²) を含む共形因子によって定義される。
• 面積公式が原点点 Z の選択に依存しないことにより、三角形分割にわたる一貫性が保証される。
• 数学的帰納法と還元補題を用いて、共円で最大面積をとる多角形が向き付けられた凸であることを示す。
• コンパクトな配置上で連続な面積関数に一般最大原理を適用することで、最大面積多角形の存在が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された辺長をもつ双曲多角形は、常に最大面積に達するのか？
• RQ2 そのような多角形の中で、どの幾何的構成が面積を最大にするのか？
• RQ3 最大面積が正となる条件は何か。ゼロとなる条件は何か？
• RQ4 最大面積多角形は双曲等長変換を除いて一意的なのか？
• RQ5 双曲幾何において、頂点の共円性は面積最大化とどのように関係するか？

主な発見

• 固定された正の辺長をもつすべての双曲多角形のうち、最大面積をとるものが少なくとも1つ存在する。
• 最大面積多角形は、向き付けられた凸で共円（頂点が円、直線、またはアポロニウス円上）であるか、または同一直線上に単調に並んでいる。
• 共円で向き付けられた凸の場合、最大面積は正である。同一直線上の場合は面積はゼロである。
• 最大面積多角形は双曲等長変換を除いて一意に定まる。
• 最大面積が正であるための必要十分条件は、各辺長が他のすべての辺長の和より小さいことである。
• この結果は、相似形の存在しない双曲幾何において、角と面積の関係が非ユークリッド的であることに起因し、距離幾何学的手法を必要とするため、ユークリッドの面積最大化定理を双曲幾何に一般化したものである。