[논문 리뷰] Polynomial growth of discrete quantum groups, topological dimension of the dual and *-regularity of the Fourier algebra

Alessandro D’Andrea, Claudia Pinzari외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 압축 양자군의 조밀한 호프 대수의 겔판트-키릴로프(Gelfand-Kirillov, GK) 차원과 그 이중의 위상차원 사이의 연결고리를 설정하며, 단순연결된 리군에 대한 Banica와 Vergnioux의 다항식 성장 결과를 모든 압축군으로 일반화한다. 또한 다항식 성장 성질을 갖는 카크 유형의 압축 양자군에 대해 푸리에 대수는 ∗-정규이며, 이는 고유한 C∗-노름과 최대 대수 및 푸리에 대수의 원시 이상수 공간 사이의 호메오모르피즘을 암시한다.

ABSTRACT

Banica and Vergnioux have shown that the dual discrete quantum group of a compact simply connected Lie group has polynomial growth of order the real manifold dimension. We extend this result to a general compact group and its topological dimension, by connecting it with the Gelfand-Kirillov dimension of an algebra. Furthermore, we show that polynomial growth for a compact quantum group G of Kac type implies *-regularity of the Fourier algebra A(G), that is every closed ideal of C(G) has a dense intersection with A(G). In particular, A(G) has a unique C*-norm.

연구 동기 및 목표

• 단순연결된 압축 리군의 이중에 대한 다항식 성장에 관한 Banica와 Vergnioux의 결과를 모든 압축군으로 확장하기.
• 압축 양자군의 밀도가 높은 호프 대수의 겔판트-키릴로프 차원을 통해 압축 양자군의 위상차원을 정의하고 연구하기.
• 카크 유형의 압축 양자군에서 다항식 성장과 푸리에 대수의 ∗-정규성 사이의 구조적 연결 고리를 설정하기.
• ∗-정규성이 고유한 C∗-노름을 암시함을 보여주며, 다항식 성장 성질을 갖는 군에 대한 고전적 결과를 일반화하기.

제안 방법

• 압축 양자군의 표현환의 성장률을 기술하기 위해 겔판트-키릴로프(GK) 차원을 사용하기.
• 밀도가 높은 호프 대수의 GK 차원을 그 이중 양자군의 위상차원과 연결하기.
• 푸리에 대수 A(G)의 분석을 위해 복소수 대칭 반대 대수 이론과 C∗-완비화 이론을 적용하기.
• G가 카크 유형이면서 다항식 성장 성질을 갖는 경우, Cmax(G)와 A(G)의 원시 이상수 공간 사이의 자연스러운 전성사상 Ψ: Prim(Cmax(G)) → Prim(A(G))가 호메오모르피즘임을 증명하기.
• 비-카크 유형의 군에 대해 A(G)에 ∙-역전치를 구성함으로써 ∗-정규성의 프레임워크를 확장하기.
• 표현 이론적 기법과 ℓ¹(Ĝ) 및 ℓ²(Ĝ)에서의 노름 추정을 사용하여 푸리에 대수의 원소의 성장을 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축 양자군의 밀도가 높은 호프 대수의 겔판트-키릴로프 차원은 그 이중의 위상차원과 일치하는가?
• RQ2 단순연결된 압축 리군에 대해 Banica와 Vergnioux의 다항식 성장 결과를 모든 압축군으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 카크 유형의 압축 양자군이 다항식 성장을 보일 경우, 그 푸리에 대수가 ∗-정규가 되는가?
• RQ4 군이 다항식 성장을 보일 경우, 푸리에 대수의 최대 C∗-대수의 노름이 고유한가?
• RQ5 비-카크 유형의 양자군에 대해 푸리에 대수의 ∙-역전치는 ∗-정규성의 개념을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 압축 군의 밀도가 높은 호프 대수의 겔판트-키릴로프 차원은 그 위상(레베그) 차원과 일치하며, 이는 Banica와 Vergnioux의 결과를 일반화한다.
• 모든 카크 유형의 압축 양자군 G에 대해, 표현환 (R(G), dim)의 다항식 성장은 푸리에 대수 A(G)가 ∗-정규임을 암시한다.
• G가 카크 유형이면서 다항식 성장을 보일 경우, Cmax(G)와 A(G)의 원시 이상수 공간 사이의 전성사상 Ψ: Prim(Cmax(G)) → Prim(A(G))는 호메오모르피즘이다.
• ∗-정규성의 결과로서, 푸리에 대수 A(G)는 고유한 C∗-노름을 갖는다. 이 성질은 표준적인 밀도가 높은 호프 대수에서는 공유되지 않는다.
• 압축 양자군의 위상차원은 그 밀도가 높은 호프 대수의 GK 차원으로 정의되며, 유한한 위상차원은 이중이 유한차원의 압축 매트릭스 양자군들의 인도적 극한인 양자군들을 특징짓는다.
• 비-카크 유형의 군에 대해 A(G)에 정의된 ∙-역전치는 푸리에 대수를 복소수 대칭 반대 대수로 만들 수 있지만, 이 경우 ∗-정규성은 여전히 열린 문제이다.