[論文レビュー] Polynomial realizations of some trialgebras

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|May 2, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 48

ひとこと要約

本稿では、無限個の可換でない多項式変数を用いて、自由双分枝三重代数（TD）および自由立方三重代数（TC）を多項式的実現として構成する。WQSymとその双対を活用することで、明示的な基底、内部積、三重代数構造を導出し、 segmented compositions を通じて TC が TD の部分代数として現れることを示す。標準語におけるラティス構造により、乗法的基底および内部積の規則が得られる。

ABSTRACT

We realize several combinatorial Hopf algebras based on set compositions, plane trees and segmented compositions in terms of noncommutative polynomials in infinitely many variables. For each of them, we describe a trialgebra structure, an internal product, and several bases.

研究の動機と目的

• セット分割、平面木、および segmented compositions を用いた組合せ的ホップ代数の明示的多項式的実現の構成。
• 自由双分枝三重代数（TD）および自由立方三重代数（TC）がホップ代数 WQSym に自然に埋め込まれることの確立。
• 非可換対称関数を用いて、これらの代数の三重代数構造、内部積、および多重基底の記述。
• WQSym の双対の同次成分がソロモン＝ティーツ代数に同型であることを示し、これにより TC に内部積が定義可能となることの確立。
• パターン回避を特徴とするパックド語としての標準的および第二標準的 segmented words の特徴付けを行い、TC の乗法的基底を形成すること。

提案手法

• 著者たちは、ヒベルトの準対称化作用の不変量として実現される、非可換準対称関数のホップ代数 WQSym を用いる。
• segmented compositions を、| もしくは , で区切られた整数の列として定義し、語における隣接する文字間の比較記号に対応付ける。
• S(T) が T の標準化語の符号列であるとき、M_I を S(T) = I を満たすすべての木 T に対する M_T の和として定義する。
• 部分代数 TC における積は、M_I' M_I'' = M_{I'▹I''} + M_{I',I''} + M_{I'|I''} で与えられ、ここで ▹ は I' の最後の部分と I'' の最初の部分を接続することを意味する。
• TC* における内部積は WQSym* から誘導され、S_I' * S_I'' = S_I で与えられる。ここで I は、I' および I'' の標準語の二重語に S を作用させることで得られる segmented composition である。
• segmented compositions におけるラティス構造は、標準的および第二標準的語を用いて定義され、これらは特定の置換パターン（標準的語：121, 132, 212, 213；第二標準的語：121, 231, 212, 312）を回避することとして特徴付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由双分枝三重代数および自由立方三重代数を、非可換多項式を用いて WQSym の部分代数として明示的にどのように実現できるか？
• RQ2 立方三重代数の双対 TC* における内部積の構造は何か？ また、WQSym* からどのように誘導されるか？
• RQ3 標準的および第二標準的 segmented words は、どのようにして代数 TC の乗法的基底を形成するか？
• RQ4 segmented compositions の集合に内在するラティス構造は何か？ また、擬似パーミトヒドロンとどのように関係するか？
• RQ5 標準的および第二標準的語を特徴付ける置換パターンは何か？

主な発見

• TD の部分代数 TC は、1 個の生成元に関する自由立方三重代数に同型であり、積の規則は M_I' M_I'' = M_{I'▹I''} + M_{I',I''} + M_{I'|I''} で与えられる。
• 長さ n の標準的 segmented words は、121, 132, 212, 213 のパターンを回避するパックド語に一致する。
• 第二標準的 segmented words は、121, 231, 212, 312 のパターンを回避するパックド語に一致する。
• 標準的 segmented words の集合は、TC の乗法的基底をなしており、構造定数は segmented composition を積として実現する方法の数に等しい。
• TC* における内部積は WQSym* から誘導され、S_I' * S_I'' = S_I で与えられる。ここで I は、I' および I'' の標準語の二重語に S を作用させることで得られる segmented composition である。
• 標準的 segmented words に制限された擬似パーミトヒドロンはラティスをなし、S 同値類上の二つの順序が一致する。