[論文レビュー] POLYNOMIAL REPRESENTATIONS OF GENERAL LINEAR GROUPS AND CATEGORIFICATIONS OF FOCK SPACE

Jiuzu Hong, Oded Yacobi|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般線型群の多項式表現の極限圏 M における g-カテゴライゼーションを構成し、量子群 g（特性により ̂slp または sl1）の Fock 空間表現をカテゴライズ化する。主な結果は、M の単純対象の集合に Misra-Miwa のクリスタル構造を実現することで、Fock 空間の組合せ論的構造に対するカテゴリカルなモデルを提供することである。

ABSTRACT

We study a limit category M constructed from the polynomial represen- tations of all general linear groups. We construct a g-categorification on M in the sense of Chuang and Rouquier, which categorifies the Fock space representation of g, (here g is either ^ slp or sl1 depending on the characteristic of the ground field). As an application, we construct the Misra-Miwa crystal of Fock space from the set of simple objects of M.

研究の動機と目的

• すべての一般線型群の多項式表現からなる極限圏 M を定義すること。
• M に Fock 空間表現の量子群 g をカテゴライズ化する g-カテゴライゼーションを構成すること。
• M の単純対象の集合に Misra-Miwa のクリスタル構造を実現すること。
• GL(n) の表現論を用いて、Fock 空間の組合せ論的構造のカテゴリカルな枠組みを提供すること。

提案手法

• すべての n に対する GL(n) の多項式表現の圏の直和極限として極限圏 M を定義すること。
• 量子群 g のカテゴリカル作用を用いて M に g-カテゴライゼーションを導入すること。
• 多項式表現の構造を活用して、降下作用素および上昇作用素のカテゴリカルな類似物を定義すること。
• M のグロテンディーク群が g の Fock 空間表現を実現することを確立すること。
• カテゴライズ化作用を通じて、M の単純対象の集合が Misra-Miwa のクリスタル構造を有することを示すこと。
• 特性に依存する振る舞い（p または無限大）を活用して、カテゴライゼーションにおける ̂slp と sl1 を区別すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fock 空間表現の量子群 g は、一般線型群の多項式表現を通じてどのようにカテゴリカルに実現可能か？
• RQ2 多項式表現の極限圏 M にどのような構造が、g-カテゴライゼーションを生じさせるか？
• RQ3 Fock 空間の Misra-Miwa クリスタルは、圏 M からどのように導かれるか？
• RQ4 基底体の特性は、カテゴライゼーションにおける ̂slp と sl1 の区別にどのような役割を果たすか？
• RQ5 Fock 空間の組合せ論は、M の単純対象から再構成可能か？

主な発見

• 極限圏 M は、g の Fock 空間表現をカテゴライズ化する g-カテゴライゼーションを備える。
• M のグロテンディーク群は、g-加群としての Fock 空間を実現する。
• M の単純対象の集合は、Misra-Miwa のクリスタル構造を有し、クリスタルグラフのカテゴリカルなモデルを提供する。
• カテゴライゼーションは、正の特性における g = ̂slp および特性ゼロにおける g = sl1 に対して有効である。
• この構成により、GL(n) の表現論と Fock 空間の組合せ論の間の直接的な関係が確立される。
• この結果は、カテゴリカル作用を通じて、Fock 空間の組合せ論の新しい幾何的・代数的実現を提供する。