[論文レビュー] Polynomial-time approximability of the k-Sink Location problem

Rémy Belmonte, Yuya Higashikawa+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、無向グラフ上のk-Sink Location問題に対して、すべての固定されたkに対してFPTASが存在することを示し、FPTAS近似可能であることを証明する。さらに、kをパラメータとした場合のW[1]-hardnessを確立し、この動的ネットワーク避難問題の計算複雑性を解消する。

ABSTRACT

A dynamic network ${\cal N} = (G,c,τ,S)$ where $G=(V,E)$ is a graph, integers $τ(e)$ and $c(e)$ represent, for each edge $e\in E$, the time required to traverse edge $e$ and its nonnegative capacity, and the set $S\subseteq V$ is a set of sources. In the $k$-{\sc Sink Location} problem, one is given as input a dynamic network ${\cal N}$ where every source $u\in S$ is given a nonnegative supply value $σ(u)$. The task is then to find a set of sinks $X = \{x_1,\ldots,x_k\}$ in $G$ that minimizes the routing time of all supply to $X$. Note that, in the case where $G$ is an undirected graph, the optimal position of the sinks in $X$ needs not be at vertices, and can be located along edges. Hoppe and Tardos showed that, given an instance of $k$-{\sc Sink Location} and a set of $k$ vertices $X\subseteq V$, one can find an optimal routing scheme of all the supply in $G$ to $X$ in polynomial time, in the case where graph $G$ is directed. Note that when $G$ is directed, this suffices to obtain polynomial-time solvability of the $k$-{\sc Sink Location} problem, since any optimal position will be located at vertices of $G$. However, the computational complexity of the $k$-{\sc Sink Location} problem on general undirected graphs is still open. In this paper, we show that the $k$-{\sc Sink Location} problem admits a fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS) for every fixed $k$, and that the problem is $W[1]$-hard when parameterized by $k$.

研究の動機と目的

• 一般の無向グラフ上でのk-Sink Location問題の計算複雑性を解明すること。ここでの最適なシンク位置は頂点に限らず辺上に存在する可能性がある。
• すべての固定されたkに対して、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在するかどうかを特定すること。
• kをパラメータとした場合の問題のパラメータ化複雑性を調査すること、特にW[1]-hardnessの観点から。
• 有向グラフの場合の多項式時間解法と、無向グラフの場合の未解決な複雑性状態との間のギャップを埋めること。

提案手法

• 各辺を長さがε·τ(e)以下のセグメントに分割することで、離散化に基づくFPTASを提案し、候補となるシンク位置の有限集合を構成する。
• 最適なシンク配置を近似するために丸め技術を用い、ルーティング時間の増加が(1+ε)倍以内に抑えられることを保証する。
• 任意の最適なシンク位置xへのルーティングを、近くの候補位置x′に再ルーティング可能であることを示す変換の議論を適用する。
• 任意の辺eに対して、隣接する候補位置間の距離がε·τ(e)以下であることを確立し、(1+ε)-近似が可能であることを示す。
• k-Hitting Set問題をk-Sink Location問題に還元することでW[1]-hardnessを証明する。この構成では、Uの頂点が潜在的なシンクを表し、Xの集合が供給源を表す。
• 単位容量および単位移動時間を持つ構築されたグラフにおいて、すべての供給物資が時間1以内に避難可能であることは、サイズkのヒッティング集合が存在することと同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての固定されたkに対して、無向グラフ上でのk-Sink Location問題は、任意の(1+ε)要因内で多項式時間で近似可能か？
• RQ2 単位辺容量および単位移動時間のもとでも、kをパラメータとした場合のk-Sink Location問題はW[1]-hardか？
• RQ3 有向グラフの場合の多項式時間アルゴリズムの存在が、最適なシンクが辺上に存在する可能性があるにもかかわらず、無向グラフの場合の解法可能性を示唆するか？
• RQ4 kをパラメータとした場合に、f(k)·poly(n,1/ε)時間で(1+ε)-近似比を達成できるか？
• RQ5 有向グラフと無向グラフとの間に、なぜ同じようなルーティング制約のもとで無向グラフの方が計算的に難しいのか、構造的差異は何か？

主な発見

• k-Sink Location問題は、一般の無向グラフ上において、すべての固定されたkに対して完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を有する。
• FPTASはnおよび1/εに関して多項式時間で(1+ε)-近似を達成でき、近似比はkに依存しない。
• kをパラメータとした場合、すべての辺が単位容量および単位移動時間であっても、問題はW[1]-hardである。
• k-Hitting Set問題からの還元によりW[1]-hardnessが証明され、強い制限のもとでも問題の計算的困難性が保たれていることが示された。
• 無向グラフにおける最適なシンク位置は頂点に限らず辺上に存在するため、探索空間が複雑化し、有向グラフの手法の直接適用が不可能になる。
• 近似スキームは、ε·τ(e)に比例する解像度で辺のセグメントを離散化することに依存しており、ルーティング時間における誤差が有界に保たれる。