[論文レビュー] Polynomial-time computation of homotopy groups and Postnikov systems in fixed dimension

Martin Čadek, Marek Krčál+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、固定次元 k ≥ 2 における 1-連結な単体的集合 X のホモトピー群 πₖ(X) およびポストニコフ系を、多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。この手法は、多項式時間でホモロジーを計算できる単体的集合を活用しており、主な貢献は、Y が (k−1)-連結で dim X ≤ 2k−1 を満たす場合の拡張問題に対する完全な多項式時間解法および [X,Y] の計算を可能にしたことである。これは代数的トポロジーにおける長年の計算複雑性の障壁を解消するものである。

ABSTRACT

For several computational problems in homotopy theory, we obtain algorithms with running time polynomial in the input size. In particular, for every fixed k>1, there is a polynomial-time algorithm that, for a 1-connected topological space X given as a finite simplicial complex, or more generally, as a simplicial set with polynomial-time homology, computes the k-th homotopy group π_k(X), as well as the first k stages of a Postnikov system of X. Combined with results of an earlier paper, this yields a polynomial-time computation of [X,Y], i.e., all homotopy classes of continuous mappings X -> Y, under the assumption that Y is (k-1)-connected and dim X < 2k-1. We also obtain a polynomial-time solution of the extension problem, where the input consists of finite simplicial complexes X,Y, where Y is (k-1)-connected and dim X < 2k, plus a subspace A\subseteq X and a (simplicial) map f:A -> Y, and the question is the extendability of f to all of X. The algorithms are based on the notion of a simplicial set with polynomial-time homology, which is an enhancement of the notion of a simplicial set with effective homology developed earlier by Sergeraert and his co-workers. Our polynomial-time algorithms are obtained by showing that simplicial sets with polynomial-time homology are closed under various operations, most notably, Cartesian products, twisted Cartesian products, and classifying space. One of the key components is also polynomial-time homology for the Eilenberg--MacLane space K(Z,1), provided in another recent paper by Krcal, Matousek, and Sergeraert.

研究の動機と目的

• 固定次元 k に対して、1-連結な空間 X のホモトピー群 πₖ(X) およびポストニコフ段階を多項式時間で計算するアルゴリズムを開発すること。
• A ⊆ X である写像 f: A → Y に対する拡張問題を、Y が (k−1)-連結で dim X ≤ 2k−1 を満たす場合に多項式時間で解けるようにすること。
• Y が (k−1)-連結で dim X ≤ 2k−1 を満たす場合に、写像 X → Y のホモトピー類の集合 [X,Y] を多項式時間で計算可能にするようにすること。
• セルジャールトの有効ホモロジー枠組みを拡張し、多項式時間ホモロジーを備えた単体的集合を導入することで、有効ホモロジーの枠組みを多項式時間計算可能性へと拡張すること。
• カルテシアン積、ねじれ積、分類空間といった主要な構成が、多項式時間ホモロジーを保つことを確立すること。

提案手法

• 多項式時間ホモロジーを備えた単体的集合の概念を導入し、セルジャールトの有効ホモロジー枠組みを拡張する。
• 多項式時間ホモロジーを備えた単体的集合が、カルテシアン積、ねじれカルテシアン積、分類空間構成に対して閉じていることを証明する。
• 先行研究による K(ℤ,1) の多項式時間ホモロジー計算を活用し、基盤的構成要素を構築する。
• ポストニコフ塔分解を用いて、[X,Y] の計算を Postnikov 段階 P_{2k−2} へのホモトピー類の計算に還元する。
• [X,P_{2k−2}] および [A,P_{2k−2}] を、生成子と関係式で有効に提示されたアーベル群として表現し、多項式時間で計算可能であることを示す。
• 制限写像の群準同型性と多項式時間での属するかの判定を用いて、拡張問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定次元 k ≥ 2 に対して、有限単体的複体または多項式時間ホモロジーを備えた単体的集合として与えられた 1-連結な X に対して、ホモトピー群 πₖ(X) を多項式時間で計算可能か？
• RQ2 Y が (k−1)-連結で dim X ≤ 2k−1 を満たす場合、写像 f: A → Y の拡張問題は多項式時間で決定可能か？
• RQ3 Y が (k−1)-連結で dim X ≤ 2k−1 を満たす場合、写像 X → Y のホモトピー類の集合 [X,Y] は多項式時間で計算可能か？
• RQ4 ポストニコフ系を構築するために必要な演算が、単体的集合の文脈で多項式時間ホモロジーを保つか？
• RQ5 この枠組みを用いて、固定次元 k に対して球面のホモトピー群を効率的に計算可能か？

主な発見

• 任意の固定次元 k ≥ 2 に対して、有限単体的複体または多項式時間ホモロジーを備えた単体的集合として与えられた 1-連結な X に対して、πₖ(X) を多項式時間で計算するアルゴリズムが存在する。
• 上記の入力クラスに対して、X のポストニコフ系の最初の k 段階を多項式時間で計算可能である。
• Y が (k−1)-連結で dim X ≤ 2k−2 を満たす場合、写像 X → Y のホモトピー類の集合 [X,Y] を多項式時間で計算可能である。
• Y が (k−1)-連結で dim X ≤ 2k−1 を満たす場合、A ⊆ X である写像 f: A → Y に対する拡張問題は多項式時間で決定可能である。
• 制限写像 ρ: [X,P_{2k−2}] → [A,P_{2k−2}] は多項式時間で計算可能であり、拡張可能性の属するかの判定を効率的に行える。
• 多項式時間ホモロジーを備えた単体的集合の枠組みは、カルテシアン積、ねじれ積、分類空間構成に対して閉じており、再帰的アルゴリズム構築を可能にする。