[論文レビュー] Polynomials with Surjective Arboreal Galois Representations Exist in Every Degree

Joel Specter|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の数体 $E$ および任意の正の整数 $n$ に対して、すべての反復が既約であり、関連する木構造ガロア表現が正則 $n$-分岐木の自己同型群に全射であるようなモニック多項式 $f \in E[X]$ の存在を、Odoniの予想として証明している。著者らは、$f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ の形をした族を用いて、このような多項式を明示的に構成し、$E/\mathbb{Q}$ が有限個の素数を除いて不分岐であるとき、$\mathbb{Q}$ に無限個の $A$ に対して、$E$ 上で表現が全射であることを示している。

ABSTRACT

Let~$E$ be a Hilbertian field of characteristic~$0$. R.W.K. Odoni conjectured that for every positive integer~$n$ there exists a polynomial~$f\in E[X]$ of degree~$n$ such that each iterate~$f^{\circ{k}}$ of~$f$ is irreducible and the Galois group of the splitting field of~$f^{\circ k}$ is isomorphic to the automorphism group of a regular,~$n$-branching tree of height~$k.$ We prove this conjecture when~$E$ is a number field.

研究の動機と目的

• 特徴が 0 の Hilbertian 領域上での、全射な木構造ガロア表現を持つ多項式の存在に関する Odoni の予想を解決すること。
• 有限個の素数を除いて不分岐な Hilbertian 領域である数体上での、同様の多項式の存在を確立すること。
• 全射な木構造ガロア表現をもたらす多項式族 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ を、$A \in \mathbb{Q}$ に対して無限個の $A$ で明示的に構成すること。
• 0 の前像木におけるガロア作用が、正則 $n$-分岐木の自己同型群と同型であることを確認すること。
• 局所的条件と弱近似を用いて、表現の像が合同部分群 $\Gamma(N)$ を含み、全射性が保証されることを示すこと。

提案手法

• $a < n$ として、$A \in \mathbb{Q}$ をパrameterとする多項式族 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ を構成し、$E$ 上ですべての反復が既約であることを保証する。
• $p_0, p_k, p_\infty$ における局所的条件を用いて、インertie 群の像が $\Gamma(N)$ の生成元に共役な元を含み、それが位相的に稠密な部分群を生成することを保証する。
• Krasnerの補題を用いて、$\ell$-進近傍内で基本値に近い $A$ に対して、$f(X,A)$ の分解体が $S_n$-拡大のまま保たれることを示す。
• 弱近似を用いて、有限個の場所における局所的条件を満たす有理数 $A$ を無限個構成し、像が $\Gamma(1)$ を含むようにする。
• 有限個の場所における局所的仮説 (A.1)–(A.8) の有限リストを確認することで、木構造ガロア表現の像が $\Gamma(1)$ を含むことを検証する。
• $E$ がガロア的で、特定の素数で不分岐であることから、ガロア群 $G_E$ がインテリア群の正規閉包を含み、$E$ 上でも全射性が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正の整数 $n$ および数体 $E$ に対して、すべての反復が既約であり、木構造ガロア表現が全射であるようなモニック多項式 $f \in E[X]$ の存在は保証されるか？
• RQ2 このような多項式は、$\mathbb{Q}$ 上の1パrameter族を用いて明示的に構成可能か？
• RQ3 パrameter $A$ にどのような局所的条件を課すと、木構造ガロア表現の像が $\Gamma(N)$ を含むようになるか？
• RQ4 弱近似と $p$-進摂動を用いて、全射表現をもつような無限個の $A \in \mathbb{Q}$ をどのように生成できるか？
• RQ5 $E/\mathbb{Q}$ にどのような条件を課すと、$\mathbb{Q}$ 上での全射性が $E$ に沿ってのベースチェンジによっても保たれるか？

主な発見

• 有限個の素数を除いて不分岐な任意の数体 $E$ および任意の $n \geq 1$ に対して、$a < n$ であるような多項式 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ が存在し、$E$ 上で $f$ のすべての反復が既約である。
• $\mathbb{Q}$ に無限個の $A$ が存在し、$f_{a,A}$ に関連する木構造ガロア表現が正則 $n$-分岐木の自己同型群 $\mathrm{Aut}(T_f)$ に全射である。
• $G_E$ の木構造表現による像は合同部分群 $\Gamma(1)$ を含み、これは位相的生成と組み合わせて全射性を示唆する。
• 構成は、$A_0$ の $\ell$-進近傍での摂動に依拠しており、有限個の素数における局所的条件を満たすことで、像が $\Gamma(1)$ を含むように保証される。
• 弱近似により、必要な局所的仮説 (A.1)–(A.8) を満たす有理数 $A$ が無限個存在し、これにより表現の全射性が保証される。
• $f(X,A)$ の分解体は、すべての such $A$ に対して $S_n$-拡大であり、前像木におけるガロア作用は $\mathrm{Aut}(T_f)$ と同型である。