[論文レビュー] Polytopes of Minimum Positive Semidefinite Rank

João Gouveia, Richard Z. Robinson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$n$次元多面体の正定値（psd）ランクが少なくとも $n+1$ であることを確立し、この最小値を達成するすべての多面体を特徴づけている。本論文は、このような多面体が、正確にランク $n+1$ の正定値因子分解を許容するスラック行列を備えるものであると証明し、2次元および3次元多面体の最小psdランクを完全に分類している。これには単体、錐体、双単体、角柱、および八面体が含まれる。

ABSTRACT

The positive semidefinite (psd) rank of a polytope is the smallest $k$ for which the cone of $k imes k$ real symmetric psd matrices admits an affine slice that projects onto the polytope. In this paper we show that the psd rank of a polytope is at least the dimension of the polytope plus one, and we characterize those polytopes whose psd rank equals this lower bound. We give several classes of polytopes that achieve the minimum possible psd rank including a complete characterization in dimensions two and three.

研究の動機と目的

• $n$次元多面体の最小可能な正定値（psd）ランクを特定すること。
• psdランクが下限 $n+1$ に等しいすべての多面体を特徴づけること。
• 2次元および3次元多面体の最小psdランクを完全に分類すること。
• 非完璧グラフがpsdランク $n+1$ を有する安定集合多面体を生成できるかどうかを調査すること。
• スラック行列の因子分解を通じて、psdランクと組合せ的構造との関係を確立すること。

提案手法

• 多面体のpsdランクを、$k\times k$ 正定値行列の錐のアフィンスライスによるリフトを許容する最小の $k$ として定義する。
• 多面体のスラック行列を用いて、psdランクと非負行列のpsd因子分解との関係を関係づける。
• 特に正定値行列の錐に対するコーン因子分解の概念を用い、最小リフトを分析する。
• 双対性および極性の議論を活用し、最小psdランクを達成する多面体の組合せ的型を分析する。
• 特にハダマード平方根を含むスラック行列の部分行列に対するランクの議論を用い、psdランクの下界を証明する。
• 完璧グラフ定理および奇数の穴と反穴の性質を用いて、安定集合多面体を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$次元多面体の最小psdランクは何か？
• RQ2 どの多面体が最小psdランク $n+1$ を達成するか？
• RQ3 2次元および3次元多面体の最小psdランクを完全に分類するとどうなるか？
• RQ4 非完璧グラフがpsdランク $n+1$ を有する安定集合多面体を生成できるか？
• RQ5 多面体のpsdランクは、そのスラック行列の組合せ的構造とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の$n$次元多面体のpsdランクは、少なくとも$n+1$ である。
• 多面体がpsdランク$n+1$ を達成するための必要十分条件は、そのスラック行列がランク$n+1$ のpsd因子分解を許容することである。
• 2次元では、最小psdランクを達成する多面体は三角形と四角形である。
• 3次元では、最小psdランクを達成する多面体は単体、四角錐、双単体、三角柱、二面八面体、および二面立方体である。
• グラフの安定集合多面体のpsdランクが$n+1$ であるための必要十分条件は、そのグラフが完璧であることである。
• 頂点数$2m+1$ の奇数の穴$H$に対して、$\textup{STAB}(H)$ のスラック行列のpsdランクは$2m+2$ を超えることが示され、最小psdランクを達成しないことが証明された。