[論文レビュー] Polytopes with mass linear functions, part I

Dusa McDuff, Susan Tolman|ArXiv.org|Jul 6, 2008

Point processes and geometric inequalities参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、次元3以下の滑らかで単純な多面体上の質量線形関数を分類し、非定数の質量線形関数が対称性から生じるか、または3次元多面体の唯一の族から生じることを示している。主な結果は、滑らかな3次元多面体の中で、対称性によって誘導されない本質的質量線形関数を許容するのは唯一の族に限られ、大多数の多面体はこのような関数を許容しないことである。この分類は、シンプレクティックトーリック多様体およびそのシンプレクティック同相群の幾何的意味を持つ。特に、基本群の写像の単射性に関連して重要である。

ABSTRACT

We analyze mass linear functions $H$ on simple polytopes $\De$, where a mass linear function is an affine function on $\De$ whose value on the center of mass depends linearly on the positions of the supporting hyperplanes. We show that certain types of symmetries of $\De$ give rise to nonconstant mass linear functions on $\De$. These are called inessential; the others are essential. We also show that most polytopes do not admit any nonconstant mass linear functions. Our main result shows that there is only one family of smooth polytopes of dimension $\leq 3$ which admit essential mass linear functions. These results have geometric implications. Fix a symplectic toric manifold $(M,\om,T,Φ)$ with moment polytope $\De = Φ(M)$; let $\Symp(M,\om)$ be its group of symplectomorphisms. Any linear function $H$ on $\De$ generates a Hamiltonian $\R$ action on $M$ whose closure is a subtorus $T_H$ of $T$. We show that if the map $π_1(T_H) o π_1(\Symp(M,\om))$ has finite image, then $H$ is mass linear. Therefore, in most cases the induced map $π_1(T) o π_1(\Symp(M,\om))$ is an injection. We also show that this map does not have finite image unless $M$ is a product of projective spaces. Moreover, the inessential $H$ correspond to elements in the kernel of the map $π_1(T) o \Isom(M)$, where the Kahler isometry group $\Isom(M)\subset \Symp(M,\om)$ consists of elements that also preserve the natural compatible complex structure on $M$. Therefore if $\De$ supports no nonconstant essential mass linear $H$, the map $π_1(\Isom(M)) o pi_1(\Symp(M,\om)$ is injective.

研究の動機と目的

• 次元 ≤3 の滑らかな多面体で非定数の質量線形関数を許容するものをすべて分類すること。
• 対称性から生じる（本質的でない）質量線形関数と、対称性から生じない（本質的）関数を区別すること。
• 質量線形関数がシンプレクティックトーリック多様体に与える幾何的意味、特にシンプレクティック同相群の基本群への写像の性質を特定すること。
• 写像 π₁(T) → π₁(Symp₀(M,ω)) が単射となる条件を確立すること。

提案手法

• 質量線形関数を、多面体 Δ 上のアフィン関数として定義し、重心が支持超平面の位置に線形に依存するものとする。
• 体積とモーメントが支持数 κ_i の変化にどのように変化するかを分析するために、チャネル 𝒞_Δ を用いる。
• 対称的でない面と非対称的面の概念を導入し、多面体の対称性から生じる本質的でない関数を定義する。
• 非対称面が2つのみを持つ多面体を分析し、特に3次元多面体 Y_a の文脈で質量線形関数を分類する。
• 平坦な面に関する結果と展開を応用し、平坦な面を含まない多面体への分類を簡略化する。
• 強力で広範に存在する面の概念を用いて、組合せ的に単体の積に同値な4次元多面体を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの滑らかな3次元多面体が非定数の質量線形関数を許容するか？
• RQ2 滑らかな多面体において、対称性から生じない（本質的）質量線形関数はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 シンプレクティックトーリック多様体 (M,ω) に対して、写像 π₁(T) → π₁(Symp₀(M,ω)) がいつ単射か？
• RQ4 本質的質量線形関数をもたない多面体において、写像 π₁(Isom₀(M)) → π₁(Symp₀(M,ω)) がいつ単射か？
• RQ5 すべての面が強力な滑らかな4次元多面体は、組合せ的に単体の積に同値か？

主な発見

• 本質的質量線形関数を許容するのは、例1.1で定義された Y_a の形をした唯一の3次元多面体の族に限られ、多角形はすべてそのような関数を許容しない。
• 対称面を含まない滑らかな4次元多面体で、すべての質量線形関数が本質的でない場合、多面体は単体の積に組合せ的に同値である。
• すべての4次元シンプレクティックトーリック多様体に対して、写像 π₁(T) → π₁(Symp₀(M,ω)) は単射であり、6次元の場合も同様であるが、M が ℂP²-バンドル over ℂP¹ でない限り成立する。
• 多面体が本質的質量線形関数をもたない場合、写像 π₁(Isom₀(M)) → π₁(Symp₀(M,ω)) は単射である。
• 4次元の場合、滑らかな多面体上のすべての質量線形関数は、対称面から生じるか、本質的でないため、対称性が存在しない限り、このような関数はまれである。
• すべての面が強力で、かつすべての面が強力な滑らかな4次元多面体は、対称面を含まない限り、組合せ的に単体の積に同値である。