[論文レビュー] Population processes with unbounded extinction rate conditioned to non-extinction

Nicolas Champagnat, Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

advanced mathematical theories参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、無限大への崩壊率が有界でない連続時間の集団過程、特に1次元の出生死滅過程における災害および強い種内競争を伴う多変数出生死滅過程を含め、一意の定常分布への一様指数的収束を確立する。著者らは、無限小生成作用素に基づく新規な非線形リャプノフ基準と巧みに構築されたテスト関数を用い、災害率と競争係数の緩い成長条件のもとで、初期分布に依存しない一様な全 Variation 収束が指数的であることを証明する。

ABSTRACT

This article studies the quasi-stationary behaviour of population processes with unbounded absorption rate, including one-dimensional birth and death processes with catastrophes and multi-dimensional birth and death processes, modeling biological populations in interaction. To handle this situation, we develop original non-linear Lyapunov criteria. We obtain the exponential convergence in total variation of the conditional distributions to a unique quasi-stationary distribution, uniformly with respect to the initial distribution. Our results cover all one-dimensional birth and death processes which come down from infinity with catastrophe rate satisfying appropriate bounds, and multi-dimensional birth and death models with stronger intra-specific than inter-specific competition.

研究の動機と目的

• 無限大の吸収率を有する集団過程に対して、準定常分布の存在および一意性を確立すること。
• 過程の条件付き分布が全 Variation で指数的速さに収束するための条件を導出すること。
• 従来の収束結果を、無限大の災害率および強い種内競争を伴う多変数モデルに拡張すること。
• 無限大の崩壊率を有する過程に特化した、新しい非線形フォスター＝リャプノフ基準を開発すること。
• 特定の初期点に依存しない、すべての初期分布に対して有効な一様収束結果を提供すること。

提案手法

• 有界関数 $ V $ とノルムに類する関数 $ W $ を含む非線形フォスター＝リャプノフ基準を提案し、主要な不等式 $ \mu(LV) - \mu(V)\mu(L\mathbbm{1}_E) \leq A - B\mu(W) $ を導出する。
• 人口サイズに従ってゆっくりと増加する関数 $ V(x) = \sum_{j=1}^{|x|} \frac{1}{j^{1+\varepsilon}} $（$ \varepsilon \in (0,1) $）を構築する。
• 過程の無限小生成作用素 $ L $ を用いて、$ V $ のドリフトを解析し、出生率、死滅率、災害率を統合する。
• 吸収率 $ \alpha $ を含む項を制御するために FKG 不等式を適用し、$ \alpha $ が人口サイズに関して非減少であると仮定する。
• 災害率と競争係数に成長条件を課し、特に種内競争が種間競争よりも顕著に強い場合（$ c_{ii} \gg c_{ij} $ for $ i \neq j $）を要請する。
• すべての初期測度 $ \mu $ に対して $ \|\mathbb{P}_\mu(X_t \in \cdot \mid t < \tau_\partial) - \alpha\|_{TV} \leq Ce^{-\lambda t} $ を示すことにより、一様指数的混合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の崩壊率を有する集団過程に対して、一意の準定常分布が存在する条件は何か？
• RQ2 すべての初期分布に対して、全 Variation での準定常分布への指数的収束が一様に保証されるか？
• RQ3 リャプノフ型基準を、特に多変数モデルにおける無限大の吸収率に対応できるようにどのように拡張できるか？
• RQ4 強い種内競争が多様体型出生死滅過程における準定常的挙動を保証する上で果たす役割は何か？
• RQ5 災害率が無限大に発散する場合でも、収束速度を一様に定量的に評価できるか？

主な発見

• 災害率が適切な成長バウンドを満たす限り、無限大から「下がってくる」1次元の出生死滅過程における災害を伴う集団過程に対して、一意の準定常分布が存在する。
• 条件付き分布は、すべての初期分布に対して全 Variation で指数的速さに収束する。
• 多変数出生死滅過程では、種内競争が種間競争よりも顕著に強い場合に、一様指数的収束が成立する。
• 収束速度は不等式 $ \|\mathbb{P}_\mu(X_t \in \cdot \mid t < \tau_\partial) - \alpha\|_{TV} \leq Ce^{-\lambda t} $ で定量的に評価され、定数 $ C, \lambda > 0 $ は初期測度 $ \mu $ に依存しない。
• 従来の結果が有界な災害率または有限状態空間を仮定していたのに対し、本手法は吸収率が無限大であっても適用可能である。
• 主な技術的革新は、特に境界付近および無限大付近での状態空間の非線形依存性を扱える非線形リャプノフ基準である。