[論文レビュー] Population viewpoint on Hawkes processes

Alexandre Boumezoued|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般の移民を伴う線形ハーケス過程に対して、人口動態的視点を導入し、移民と出生を伴う年齢構造型人口としてシステムをモデル化する。過去の出来事の年齢ピラミッドを追跡することで、非定常ハーケス過程の新たな分布的性質を導出し、指数関数的出生関数の一般化を可能にするとともに、新規の積分微分方程式フレームワークを用いて正確なラプラス変換計算を実現する。

ABSTRACT

This paper focuses on a class of linear Hawkes processes with general immigrants. These are counting processes with shot noise intensity, including self-excited and externally excited patterns. For such processes, we introduce the concept of age pyramid which evolves according to immigration and births. The virtue if this approach that combines an intensity process definition and a branching representation is that the population age pyramid keeps track of all past events. This is used to compute new distribution properties for a class of linear Hawkes processes with general immigrants which generalize the popular exponential fertility function. The pathwise construction of the Hawkes process and its underlying population is also given.

研究の動機と目的

• 年齢とマークに基づく人口動態フレームワークを用いて、一般の移民を伴う線形ハーケス過程をモデル化すること。
• 従来のハーケス過程解析における定常性仮定の制限を克服すること。
• すべての過去の出来事を追跡する年齢ピラミッドを通じたハーケス過程のパスワイズ構成を確立すること。
• 非定常ハーケス過程における、計数過程のラプラス変換を含む新たな分布的性質を導出すること。
• マーク依存型の拡散カーネルを許容する一般化された指数関数的出生関数の拡張を実現すること。

提案手法

• 各個人が年齢とマークを持つ分岐的移民・出生過程としてハーケス過程をモデル化する。
• 年齢ピラミッドを、移民および出生イベントによって進化する確率過程として定義する。
• 強度が過去のすべての出来事の年齢とマークに依存するショットノイズ強度表現を用いる。
• 分岐構造とラプラス変換技術を活用して、母関数に関する積分微分方程式系を導出する。
• 薄め法とポアソン点過程構成を用いて、過程のパスワイズシミュレーションを実施する。
• 生成関数 G(t) の導関数を含む再帰的構造を用いて、ラプラス変換の関数方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の移民を伴うハーケス過程の非定常的ダイナミクスは、人口ベースのフレームワークを用いてどのように記述可能か？
• RQ2 定常性仮定を課さない状況下で、計数過程の正確な分布的性質は何か？
• RQ3 過去の出来事の年齢ピラミッドは、過程の完全な履歴をどのように符号化し、分布計算を可能にするか？
• RQ4 一般の拡散カーネルに対して、計数過程のラプラス変換を閉形式で導出可能か？
• RQ5 マーク依存型の出生関数は、過程の分布的挙動にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿では、計数過程 NT および強度の積分 ⟨ZT, φ⟩ の明示的表現が、生成関数 G(t) の導関数を用いて導出される。
• ラプラス変換は、G 及びその導関数の初期値の線形結合の指数関数として与えられ、係数は初期条件とパrameterに依存する。
• ラプラス変換の関数方程式の解法は、G(t) の導関数を含む積分微分方程式系の解法に還元される。
• 任意の非負の拡散カーネルとマークを許容する一般化により、指数関数的出生関数に依存する先行研究を拡張する。
• 年齢ピラミッドアプローチにより、すべての過去の出来事が追跡され、定常性を仮定しない正確なパスワイズ構成と分布解析が可能になる。
• マーク付き点過程と薄め法を用いたフレームワークにより、古典的なクラスタ表現が非定常的かつ一般の移民設定へと拡張される。