[論文レビュー] Portfolio Insurance under a risk-measure constraint

Carmine De Franco, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Risk and Portfolio Optimization参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、凸な通貨的リスク測度制約下での最適ポートフォリオインシュアランスを研究し、ファンドマネージャーがショートフォールのリスク制限を満たす条件下で投資家の効用を最大化する非凸な効用最大化問題を定式化する。主な貢献は、完全市場における完全な解を提示したことであり、最適ポートフォリオの存在はリスク測度の選択に強く依存することを示している。特に、エントロピー的リスク測度では最適解が存在するが、ブラック・ショールズモデルのような特定のモデルでは、スペクトル的リスク測度（例：CVaR）では最適解が存在しない可能性がある。

ABSTRACT

We study the problem of portfolio insurance from the point of view of a fund manager, who guarantees to the investor that the portfolio value at maturity will be above a fixed threshold. If, at maturity, the portfolio value is below the guaranteed level, a third party will refund the investor up to the guarantee. In exchange for this protection, the third party imposes a limit on the risk exposure of the fund manager, in the form of a convex monetary risk measure. The fund manager therefore tries to maximize the investor's utility function subject to the risk measure constraint.We give a full solution to this nonconvex optimization problem in the complete market setting and show in particular that the choice of the risk measure is crucial for the optimal portfolio to exist. Explicit results are provided for the entropic risk measure (for which the optimal portfolio always exists) and for the class of spectral risk measures (for which the optimal portfolio may fail to exist in some cases).

研究の動機と目的

• ファンドマネージャーの視点からポートフォリオインシュアランスをモデル化し、最低終値を保証するが、第三者が課すリスク制約に直面する。
• 保証された水準を超える超過リターン上で凹関数の効用関数を最大化する非凸最適化問題を扱い、凸な通貨的リスク測度制約を課す。
• 最適ポートフォリオが存在する条件を特定すること、特にリスク測度が解の存在を保証する役割を分析すること。
• 完全市場設定下で、エントロピー的リスク測度およびスペクトル的リスク測度を含む特定のリスク測度に対して明示的な解を提供すること。

提案手法

• 著者らは、ジンとジョウ（2008）のインスピレーションを受けて、双対性に基づくアプローチを用いて非凸な効用最大化問題を再定式化し、二つの凸な部分問題に分離する。
• 特に、分布に依存しない凸リスク測度の双対表現を用い、分位数関数および歪み関数を活用する。
• 変分法を用いて解を導出する。最適終値割当は、基礎となるリスク資産リターンの逆累積分布関数の関数として特徴づけられる。
• リスク資産リターンが閾値 $ c $ より低い場合にのみ支払いが行われるような最適閾値 $ c $ を求める。この尾部領域では一定額の支払いが行われる。
• エントロピー的リスク測度の場合、関連する歪み関数の滑らかさと厳密な凸性のおかげで、最適ポートフォリオは常に存在することが示される。
• 境界における最適解の振る舞い、特にリスク測度制約がゼロで特異的になる極限における解析を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸なリスク測度制約下のポートフォリオインシュアランスにおいて、最適ポートフォリオが存在する条件は何か？
• RQ2 特にエントロピー的リスク測度とスペクトル的リスク測度の選択が、最適ポートフォリオの存在と構造に与える影響は何か？
• RQ3 双対性技術を用いて、ポートフォリオインシュアランスにおける非凸な効用最大化問題を凸な部分問題に分離できるか？
• RQ4 なぜCVaRリスク測度は、この枠組み下でブラック・ショールズモデルにおいて最適解の存在を保証できないのか？
• RQ5 最適補償的請求権の構造は、リスク測度の歪み関数と基礎資産の分布にどのように依存するか？

主な発見

• エントロピー的リスク測度では、関連する歪み関数のおかげで双対問題の有界性が保証され、有限な解が得られるため、最適ポートフォリオが存在する。
• スペクトル的リスク測度では、歪み関数がゼロにおける振る舞いに依存する。$ r(0^+) = rac{ ext{VaR}_ ext{level}^{-1}}{ ext{歪み関数}} $ が無限大である場合、最適解は存在しない。
• ブラック・ショールズモデルでは、CVaRリスク測度は解の存在に必要な条件を満たさないため、この制約下では最適ポートフォリオを構築できない。
• 最適終値割当は、リスク資産リターンが閾値 $ c $ より低い場合にのみ支払いが行われる区分的定数関数として特徴づけられる。
• 最適解では損失領域で一定額の支払いが行われる。これはリスク制約から導かれるもので、歪み関数の尾部における積分の逆数に比例する。
• 価値関数は、リスク露出の限界的増加コストと限界的効用増加が釣り合うような閾値 $ c^* $ が選ばれたときに最大化され、最適請求権の閉形式表現が得られる。