[論文レビュー] Position space of Doubly Special Relativity

Sijie Gao, Xiaoning Wu|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、速度定義、運動量空間変換のフーリエ変換、修正されたクライン=ゴルドン方程式の共変性の3つのアプローチを分析することで、二重特殊相対性理論（DSR）の位置空間実現を検討する。非線形ローレンツ変換が運動量空間に存在する場合、物理的に一貫した仮定のもとで、位置空間では標準的なローレンツ変換に帰着することが示され、以前の提案におけるエネルギー依存の線形変換に関する一見矛盾する主張が解消される。

ABSTRACT

We consider three possible approaches to formulating coordinate transformations on position space associated with non-linear Lorentz transformations on momentum space. The first approach uses the definition of velocity and gives the standard Lorentz transformation. In the second method, we translate the behavior in momentum space into position space by means of Fourier transform. Under certain conditions, it also gives the standard Lorentz transformation on position space. The third approach investigates the covariance of the modified Klein-Gordon equation obtained from the dispersion relation.

研究の動機と目的

• 二重特殊相対性理論（DSR）における運動量空間の非線形ローレンツ変換とそれらの位置空間対応物との間に生じる不一致を解消すること。
• 運動量空間における非線形ローレンツ群の作用と整合する位置空間座標変換を特定すること。
• エネルギー依存の線形変換か、標準的なローレンツ変換か、どちらが位置空間における正しい実現かを明確にすること。
• DSRにおける不変量 $p_a dx^a$ が場の方程式の共変性と整合するかを調査すること。

提案手法

• 慣性系の観測者が測定する物理的速さとしてのブースト速度 $v$ を定義し、$v = dx/dt$ を用いて位置空間変換を導出する。
• 運動量空間における非線形ローレンツ変換を位置空間に写像するためにフーリエ変換を適用し、場がスカラーとして変換すると仮定する。
• DSR分散関係 $E^2 f_1^2 - p^2 f_2^2 = m_0^2$ から修正されたクライン=ゴルドン方程式を導出し、線形変換の下での共変性を分析する。
• 場の方程式に共変性条件を課して許容される位置空間変換を制約し、変換後の式における微分係数を比較する。
• Fock-ローレンツ変換を基準モデルとして採用し、DSRの運動量空間構造と整合性があるかを検証する。
• 1形式 $p_a dx^a = dt - v dx$ が線形変換のもとで不変であるという条件を分析し、場の方程式の共変性と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量空間における非線形ローレンツ変換は、位置空間でも非線形変換を意味するのか、それとも標準的なローレンツ形式に還元されるのか？
• RQ2 DSRにおける $v = dx/dt$ による速度定義が、位置空間で標準的なローレンツ変換に一貫して導くことができるか？
• RQ3 DSRで修正された運動量空間変換のフーリエ変換は、標準的な位置空間ローレンツ不変性と整合するか？
• RQ4 DSR分散関係から導かれる修正されたクライン=ゴルドン方程式は、線形位置空間変換のもとでも共変性を保つのか？
• RQ5 1形式 $p_a dx^a$ の不変性は、DSRにおける場の方程式の共変性と整合するのか？

主な発見

• 速度に基づくアプローチにより、位置空間では標準的なローレンツ変換が直接得られ、DSRにおけるブースト速度 $v$ が物理的速さであることが確認される。
• フーリエ変換法では、場がスカラーとして変換し、運動量空間変換がユニタリであるという条件下で、位置空間に標準的なローレンツ変換が再現される。
• 線形変換の下での修正クライン=ゴルドン方程式の共変性は、純粋な回転のみを許容すると要求するため、エネルギー依存の線形変換と矛盾することが示される。
• 線形変換のもとで $p_a dx^a$ が不変であるという条件は、場の方程式の共変性と矛盾し、このような変換が場理論フレームワークと整合しないことを示している。
• Kimberlyらが提唱したエネルギー依存の線形変換は、非ゼロのブーストにおいて $\partial t'/\partial t = 1$ を満たさないため、有効な位置空間実現として排除される。