[論文レビュー] Positive conjugacy classes in Weyl groups

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Weyl群における正の共轭類の概念を導入し、楕円的正則類を一般化する。共轭類 $C$ の最小長さ集合 $C_{\text{min}}$ に属する元について、中心化子の位数の $q$-アナログ $N^{w,w}$ が $\mathbb{N}[q]$ に属することを示し、このような類を「正」と定義する。この結果は、表現論、ヘッケ代数、スプリンガー層の $l$-進コホモロジーを結びつけるものであり、有限体上の有理点の数え上げに応用がある。

ABSTRACT

Let W be a Weyl group. We introduce the notion of positive conjugacy class in W. This generalizes the notion of regular elliptic conjugacy class in the sense of Springer.

研究の動機と目的

• Weyl群における新たな共轭類のクラス、すなわち「正」の共轭類を定義し、特徴づけること。
• 共轭類の最小長さ元について、中心化子位数の $q$-アナログ $N^{w,w}$ が $\mathbb{N}[q]$ に属することを確立すること。
• 正の条件が、スプリンガー層の $l$-進コホモロジーの表現論的性質およびフロベニウス作用とどのように関係するかを結びつけること。
• 正の共轭類であるならば、$G^F$-加群構造におけるコホモロジー成分が互いに素であるという予想を提示すること。

提案手法

• Iwahori-ヘッケ代数 $H$ 上で、写像 $h \mapsto T_w h T_{w^{-1}}$ のトレースとして $q$-アナログ $N^{w,w}$ を定義する。
• GeckとPfeifferの結果から、不可約 $H$-加群 $E_v$ に対して $\operatorname{tr}(T_w, E_v)$ が $C_{\text{min}}$ 上で定数であることを用いる。
• $H$ の構造定数 $\phi(a,a',b)$ が、先頭係数において非負性および台の条件を満たすことを証明する。
• $f(a,a'',a')_{|a|+|a''|} \geq 0$ であり、$S_a \subset \mathcal{L}_{a'}$ かつ $S_{a''} \subset \mathcal{R}_{a'}$ のときに限り 1 に等しいことを示す。これは $T_a T_{a'} T_{a''}$ の先頭項を制御する。
• グローテンディーク＝レフシェッツの固定点公式を適用し、$N^{w,w}(q^e)$ をフロベニウス固有値 $q^{j/2}\lambda_\circ$ を持つ $l$-進コホモロジー群上のトレースと関連付ける。
• 正の共轭類 $C$ ならば、$i \not\equiv i' \mod 2$ のとき、$H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l)$ と $H^{i'}_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l)^*$ のコホモロジー成分が互いに素であるという予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共轭類 $C$ の元 $w$ に対して、中心化子位数の $q$-アナログ $N^{w,w}$ が非負整数係数の多項式 $\mathbb{N}[q]$ に属するのはいつか？
• RQ2 $w \in C_{\text{min}}$ のとき $N^{w,w} \in \mathbb{N}[q]$ であるという性質の幾何学的・表現論的意味は何か？
• RQ3 共轭類の正の性質が、スプリンガー層の $l$-進コホモロジー構造とどのように関係するか？
• RQ4 共轭類 $C$ が正であれば、$i \not\equiv i' \mod 2$ のとき $H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l)$ のコホモロジー成分が互いに素であるか？
• RQ5 正の条件は、ヘッケ代数における構造定数 $\phi(a,a',b)$ の台に基づいて、純粋に代数的に特徴づけられるか？

主な発見

• $N^{w,w}$ が $\mathbb{N}[q]$ に属するのは、共轭類 $C$ が正である、すなわち $C \neq \{1\}$ かつ $w \in C_{\text{min}}$ のとき $N^{w,w} \in \mathbb{N}[q]$ であるときに限る。
• $\phi(a,a',b)$ の先頭係数は非負であり、$a' = b$、$S_a \subset \mathcal{L}_{a'}$、または $|b| < |a'|$ のときに限り 1 に等しい。右側の台に対しても同様の結果が成り立つ。
• $T_a T_{a'} T_{a''} = \sum_b f(a,a',a'',b) T_b$ に対して、係数 $f(a,a',a'',a')_{|a|+|a''|}$ は非負であり、$S_a \subset \mathcal{L}_{a'}$ かつ $S_{a''} \subset \mathcal{R}_{a'}$ のときに限り 1 に等しい。
• ノンアービット多様体 $\mathcal{N}_G$ の $\mathbb{F}_q$-有理点の数は $N^{w,w}(q)$ に等しく、$q$-アナログの算術的意義を示している。
• コホモロジー分解 $H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l) \cong \bigoplus_\circ V^i_{\circ,j} \otimes \circ$ から、$N^{w,w} = \sum_{i,i',j,j',\circ} (-1)^{i+i'} \dim V^i_{\circ,j} \dim V^{i'}_{\circ^*,j'} v^{j+j'}$ を得る。これにより、コホモロジーと $q$-アナログが結びつく。
• 正の共轭類 $C$ かつ $w \in C_{\text{min}}$ のとき、$G^F$-加群 $H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l)$ と $H^{i'}_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l)^*$ は $i \not\equiv i' \mod 2$ のとき互いに素であると予想されている。