[論文レビュー] Positive metric entropy arises in some nondegenerate nearly integrable systems

Dong Chen|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3次元トーラス上に、$C^{\infty}$-小で可逆なフィン슬ラーメトリックを構成し、平坦なメトリックに限りなく近いが、測地線流れにおいて正のメトリックエントロピーを示すものである。マペルトゥアの原理と双対レンズ写像形式を用いた帰還写像の摂動により、非退化でほぼ可積分な系において、KAMトーラスの外部に正のメトリックエントロピーが生じ、これはカオス的ダイナミクスを示している。

ABSTRACT

The celebrated KAM Theory says that if one makes a small perturbation of a non-degenerate completely integrable system, we still see a huge measure of invariant tori with quasi-periodic dynamics in the perturbed system. These invariant tori are known as KAM tori. What happens outside KAM tori draws a lot of attention. In this paper we present a Lagrangian perturbation of the geodesic flow on a flat 3-torus. The perturbation is $C^\infty$ small but the flow has a positive measure of trajectories with positive Lyapunov exponent, namely, the flow has positive metric entropy. From this result we get positive metric entropy outside some KAM tori.

研究の動機と目的

• 非退化でほぼ可積分なハミルトニアン系において、正のメトリックエントロピーが生じうることを示すこと。特に3次元トーラス上の測地線流れを対象とする。
• $\mathbb{T}^3$ 上の平坦メトリックの$C^{\infty}$-小な摂動を構成し、その結果得られる測地線流れが正のメトリックエントロピーを持つようにすること。
• この正のメトリックエントロピーが、KAMトーラスの集合の外部に生じることを示すこと。これは系が非退化的であり、摂動が極めて小さいにもかかわらず成り立つ。
• アーノルド拡散が発生しない系においても、このようなカオス的振る舞いが可能であることを確立すること。他の不安定性の形態とは区別される。

提案手法

• 特定の断面$\Gamma_0$における測地線流れの帰還写像を、$C^{\infty}$-小なハミルトニアン摂動$H_\epsilon$で摂動する。
• マペルトゥアの原理を適用し、ハミルトニアン流れを再パラメトライズすることで、摂動された運動エネルギーのハミルトニアン$\tilde{H}_\epsilon = -\sqrt{1 - 2H_\epsilon}$を保ちつつ、メトリックエントロピー解析を可能にする。
• ブルーガとイワノフの双対レンズ写像形式を用い、摂動された帰還写像を$\mathbb{T}^3$ 上のグローバルに定義された可逆なフィン슬ラーメトリック$\varphi_\epsilon$ に持ち上げる。
• 摂動が位相空間のコンパクト領域でのみ支持されることを保証し、3次元球体$D^3$ の境界付近ではユークリッドメトリックを保存する。
• 双対レンズ写像$\sigma_\epsilon$ を、ユークリッド双対レンズ写像$\sigma_0$ のシンプレクティック摂動として構成し、摂動の台集合上での帰還写像と一致させる。
• 定理7.1を用いて$\sigma_\epsilon$ をフィン슬ラーメトリック$\varphi_\epsilon$ に持ち上げる。これにより、所定の双対レンズ写像を持つ可逆なフィン슬ラーメトリックの存在が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化でほぼ可積分なハミルトニアン系において、任意に小さい$C^{\infty}$-摂動のもとで正のメトリックエントロピーが生じうるか。
• RQ2 平坦な3次元トーラス上に、このような系を構成可能であり、カオス的ダイナミクス（正のメトリックエントロピー）がKAMトーラスの外部に現れるか。
• RQ3 このような系において正のメトリックエントロピーが存在することは、アーノルド拡散を必然的に示唆するのか。
• RQ4 双対レンズ写像形式を用いて、平坦メトリックの$C^{\infty}$-小な摂動を構成し、測地線流れにおける正のメトリックエントロピーを生じさせることができるか。
• RQ5 メトリックエントロピーとほぼ可積分系における不変トーラスの構造との関係は何か。

主な発見

• 任意の$\epsilon > 0$ に対して、$\mathbb{T}^3$ 上に、$C^{\infty}$-位相においてユークリッドメトリックに$\epsilon$-近い可逆なフィン슬ラーメトリック$\varphi_\epsilon$ が存在し、正のメトリックエントロピーを持つ。
• $\varphi_\epsilon$ に関連する測地線流れは、断面$\Gamma_0$ における帰還写像の摂動により、カオス的ダイナミクスを示し、正のメトリックエントロピーを示す。
• 正のメトリックエントロピーは、KAMトーラスの集合の外部に完全に生じており、非退化でほぼ可積分な系の非KAM領域において、確率的振る舞いが出現しうることを示している。
• 摂動は$C^{\infty}$-小であり、結果として得られるメトリックエントロピーは上半連続であるため、微小ではあるが、依然として正の値をとる。
• 構築された例ではアーノルド拡散が発生せず、小さな$\epsilon$ に対して、作用変数$\alpha, \beta$ が位相空間全体で一様に有界のままである。
• 双対レンズ写像の構成により、得られるフィン슬ラーメトリックは可逆的であり、3次元球体の境界付近ではユークリッドメトリックと一致し、グローバル構造が保存される。