[論文レビュー] Positive Semi-Definite Hankel Tensors

Weiyang Ding, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Tensor decomposition and applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ハンケルテンソルの3つの継承性質を確立する。もし下位のハンケルテンソルが正定値半定値、正定値、負定値半定値、負定値、またはSOS（和の平方）であるならば、その下位のテンソルと同じベクトルから生成され、下位の次数の倍数である次数の上位のテンソルに対しても、同様の性質が成立する。上位のテンソルの極値H固有値は、下位のテンソルの極値固有値を定数倍したもので有界であり、強いハンケルテンソルに対して明示的な和の平方分解を可能にするとともに、テンソルの固有値と関連するハンケル行列の固有値を結びつける。

ABSTRACT

In this paper, we show that if a lower-order Hankel tensor is positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS), then its associated higher-order Hankel tensor with the same generating vector, where the higher order is a multiple of the lower order, is also positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS, respectively). Furthermore, in this case, the extremal H-eigenvalues of the higher order tensor are bounded by the extremal H-eigenvalues of the lower order tensor, multiplied with some constants. Based on this inheritance property, we give a concrete sum-of-squares decomposition for each strong Hankel tensor. Then we prove the second inheritance property of Hankel tensors, i.e., a Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative) H-eigenvalues if the associated Hankel matrix of that Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative, respectively) eigenvalues. In this case, the extremal H-eigenvalues of the Hankel tensor are also bounded by the extremal eigenvalues of the associated Hankel matrix, multiplied with some constants. The third inheritance property of Hankel tensors is raised as a conjecture.

研究の動機と目的

• 下位のハンケルテンソルから上位のハンケルテンソルへの正定値半定値性、正定値性、およびSOS性質の伝播を調査すること。
• 下位のテンソルに由来する極値H固有値に基づいて、上位のハンケルテンソルの極値H固有値に有界性を確立すること。
• 継承性質に基づいて、強いハンケルテンソルに対する構成的SOS分解を提供すること。
• ハンケルテンソルのH固有値とその関連するハンケル行列の固有値との関係を明らかにすること。
• 今後の研究のための、ハンケルテンソルの第3の継承性質に関する予想を提示すること。

提案手法

• 本稿は、与えられた下位のハンケルテンソルの生成ベクトルから、次数が下位の次数の倍数である上位のハンケルテンソルを構築する。
• 下位のテンソルが正定値半定値、正定値、またはSOSである場合、上位のテンソルに対しても同様の性質が継承されることを証明する。
• 上位のテンソルの極値H固有値が、下位のテンソルの極値H固有値を定数倍したもので有界である明示的な境界を導出する。
• 最初の継承性質に基づいて、強いハンケルテンソルに対する和の平方分解を導入する。
• 第二の継承性質を確立する：関連するハンケル行列が負（または非正、正、または非負）固有値を持たないならば、ハンケルテンソルは対応するH固有値の符号性質を継承する。
• 第三の継承性質に関する予想を提示し、ハンケルテンソル理論におけるより広範な構造的関係を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正定値半定値の下位ハンケルテンソルは、同じ生成ベクトルから得られる上位のテンソルに対しても正定値半定値であるか？
• RQ2 上位のハンケルテンソルの極値H固有値は、下位のテンソルの極値固有値を明示的な定数でスケーリングしたもので有界であるか？
• RQ3 次数が元の次数の倍数である場合、ハンケルテンソルの正定値性またはSOS性質が上位のテンソルに伝播するか？
• RQ4 ハンケルテンソルの固有値の符号パターンとその関連するハンケル行列の固有値の符号パターンとの間に直接的な関係は存在するか？
• RQ5 ハンケルテンソルにおけるスペクトル的特性の継承を支配する構造的性質は何か？そして、第三の継承性質を形式的に確立できるか？

主な発見

• 下位の正定値半定値ハンケルテンソルは、次数が元の次数の倍数である上位のテンソルに対しても正定値半定値であることを保証する。
• 上位のハンケルテンソルの極値H固有値は、下位のテンソルの極値H固有値を特定の定数でスケーリングしたもので有界である。
• 最初の継承性質に基づいて、強いハンケルテンソルに対する構成的SOS分解が提供される。
• 関連するハンケル行列が負（または非正、正、または非負）固有値を持たないならば、ハンケルテンソルは対応するH固有値の符号性質を継承する。
• ハンケルテンソルの極値H固有値は、関連するハンケル行列の極値固有値を定数倍したもので有界である。
• ハンケルテンソルの第三の継承性質に関する予想が提示され、テンソルスペクトル理論におけるより深い構造的関係を示唆する。