[論文レビュー] Positivity of the time constant in a continuous model of first passage percolation

Jean-Baptiste Gouéré, Marie Théret|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ℝᵈ（d ≥ 2）上での連続的1次通過透過モデルにおいて、時間定数μの正値性を確立する。ここでは、外側では移動速度が1、ランダムなボーレル集合Σ内では無限大の速度である。半径分布にほぼ最適なモーメント条件が満たされているとき、μ > 0 が成り立つのは、基礎となるポアソン過程の強度λが臨界閾値𝜆̂_c未満であるとき、かつそのときに限る。𝜆̂_cは連続透過における非有界連結性の始まりを示す。

ABSTRACT

We consider a non trivial Boolean model $\\Sigma$ on ${\\mathbb R}^d$ for $d\\geq 2$. For every $x,y \\in {\\mathbb R}^d$ we define $T(x,y)$ as the minimum time needed to travel from $x$ to $y$ by a traveler that walks at speed $1$ outside $\\Sigma$ and at infinite speed inside $\\Sigma$. By a standard application of Kingman sub-additive theorem, one easily shows that $T(0,x)$ behaves like $\\mu \\|x\\|$ when $\\|x\\|$ goes to infinity, where $\\mu$ is a constant named the time constant in classical first passage percolation. In this paper we investigate the positivity of $\\mu$. More precisely, under an almost optimal moment assumption on the radii of the balls of the Boolean model, we prove that $\\mu\ extgreater{}0$ if and only if the intensity $\\lambda$ of the Boolean model satisfies $\\lambda \ extless{} \\widehat{\\lambda}\\_c$, where $ \\widehat{\\lambda}\\_c$ is one of the classical critical parameters defined in continuum percolation.

研究の動機と目的

• 連続的1次通過透過モデルにおける時間定数μが厳密に正である条件を特定すること。
• μの正値性を連続透過における臨界強度閾値𝜆̂_cと関連付けること。
• 無限速度領域を有するランダム媒体の下で、測地線的移動時間が距離に線形に成長する条件を確立すること。
• 半径分布のモーメント条件に基づいた線形時間成長の鋭い基準を提供すること。

提案手法

• ポアソン分布に従うランダムな球からなるボーレルモデルΣを用いて、連続的1次通過透過モデルを定義する。半径はi.i.d.である。
• 点xから点yへの通過時間T(x,y)を、Σ外では速度1、Σ内では無限大速度として定義する。
• キングマンの部分加法的エルゴード定理を適用し、T(0,nx)/nがほとんど確実かつL¹収束して、定数極限μに収束することを示す。
• 回転対称性と一様性の議論を用いて、μが方向に依存せず、単位球面上で一様収束することを示す。
• 時間定数とボーレルモデル内での非有界パスの存在を関連させることで、μ > 0 ⇔ λ < 𝜆̂_cの同値性を確立する。
• 半径分布νに関するモーメント条件∫rᵈν(dr) < ∞を用いて、非自明性を保証し、透過結合技術の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈ上での連続的1次通過透過モデルにおいて、時間定数μが厳密に正である条件は何か？
• RQ2 μの正値性は連続透過における臨界強度𝜆̂_cとどのように関係するか？
• RQ3 強度λが臨界閾値𝜆̂_c未満のとき、時間定数μは正であり、それ以外では0であるか？
• RQ4 半径分布に必要なモーメント条件は何か、それが時間定数の正値性基準の有効性を保証するか？
• RQ5 モデルの仮定の下で、ℝᵈのすべての方向にわたって時間定数μは一様に特徴付けられるか？

主な発見

• 時間定数μは、ポアソン過程の強度λが臨界閾値𝜆̂_c未満であるとき、かつそのときに限り、厳密に正である。
• 臨界閾値𝜆̂_cは、sup{λ > 0 : lim_{r→∞} P(S(r) ↔ S(2r)) = 0}として定義され、ここで↔はΣ内での連結性を表す。
• モデルの回転対称性により、時間定数μは方向に依存せず、単位球面上で一様にμ > 0が成り立つ。
• n → ∞のとき、T(0,nx)/nはx ∈ S(1)に対してほとんど確実かつL¹収束してμに収束する。
• ∫rᵈν(dr) < ∞は、自明性（すなわち、Σ = ℝᵈ がほとんど確実に成り立つのを避ける）および局所的球の有限個数を保証するために必要十分である。
• 本結果は鋭い相転移を確立する：μ > 0 iff λ < 𝜆̂_cであり、1次通過透過と連続透過の臨界性を結びつける。