[論文レビュー] Power Law Multi-Scaling of Material Strength

Alexander M. Korsunsky|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2005

Hydrogen embrittlement and corrosion behaviors in metals参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、異なるサイズまたは時間スケールにおける材料強度の異なるパワー則スケーリング領域間の遷移をモデル化する一般化された「ニー」関数を導入する。この柔軟な関数が、破壊力学、塑性変形、およびインデンテーション硬度におけるマルチスケーリング現象を正確に記述できることを示しており、き裂を有する固体、弾塑性材料、被膜系を含む多様な材料系において、実験データと優れた一致を示す主要な結果が得られている。

ABSTRACT

Power law is one of the the simplest forms of the relationship between different variables of a system. It leads naturally to the introduction of compound parameters describing physical properties of the system. Often one of the variables of interest is the object dimension, or time. The prevalence of a simple power law over the entire range of dimensions or times can be helpfully interpreted as size or time independence of the corresponding compound physical parameter of the system. However, it is also often found that a simple power law only persists for some extreme values, e.g. for very large and/or small sizes, or very short or long times. Transitions between regimes of different power law asymptotic behaviour are encountered frequently in the description of a wide variety of physical systems. While asymptotic power law behaviour may often be readily predicted, e.g. on dimensional grounds, the evaluation of the relationship between system parameters in the transition range usually requires laborious detailed solution. To obviate this difficulty we introduce, on rather general basis, something we refer to as the merging, or 'knee' function. The function possesses sufficient flexibility to describe transitions of various sharpness. To demonstrate its usefuness, the merging function is applied to a variety of well-known scaling laws in the mechanics and strength of materials and structures.

研究の動機と目的

• 単純なパワー則では捉えきれない、材料強度における異なるパワー則スケーリング領域間の遷移を記述する課題に対処すること。
• 多様な力学的システムにおけるスケーリング行動の鋭いまたは緩やかな遷移をモデル化できる、一般化され柔軟な数学的フレームワークを開発すること。
• き裂の伝播、塑性変形、インデンテーションサイズ効果を含む、サイズ依存の強度現象を統一的に解釈するアプローチを提供すること。
• 「ニー」関数が、破壊力学、塑性変形、およびインデンテーション分野における実験データへの適合の有効性を示すこと。

提案手法

• 形式 $ f(x) = \frac{1}{1 + (x/x_0)^m} $ の一般化された「ニー」関数を提案し、2つのパワー則領域を滑らかに補間する。
• 線形弾性破壊力学における長き裂と短き裂の領域間の遷移をモデル化するために、この関数を応用し、強度がそれぞれ $ \sigma \propto a^{-1/2} $ および $ \sigma = \sigma_0 $ に比例することを記述する。
• 弾塑性材料における等価縦弾性係数の低下を $ \frac{E^S}{E} = \frac{1}{1 + (\sigma/\sigma^*)^m} $ で記述し、$ \sigma^* $ を降伏応力とする。
• 被膜系におけるインデンテーションサイズ効果をモデル化するために、関数を変更し、$ H - H_s = \frac{H_f - H_s}{1 + (\delta/\delta_0)^m} $ を用いる。ここで $ \delta $ は相対的インデンテーション深さを表す。
• 複数の材料系における実験データへの適合を検証するために、二重対数スケールおよび半対数スケールのプロットを用いる。
• 破壊、塑性変形、インデンテーション研究からの実験データを用いて、関数のパラメータ（例：$ m $、$ \delta_0 $）をキャリブレーションする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の数学的関数が、材料強度における異なるパワー則スケーリング領域間の遷移をどのように記述できるか？
• RQ2 破壊力学、塑性変形、インデンテーション硬度におけるマルチスケーリング行動を最もよく捉える関数形は何か？
• RQ3 「ニー」関数は、材料の弾性から塑性への変形遷移を正確にモデル化できるか？
• RQ4 「ニー」関数は、き裂を有する材料および被膜材料におけるサイズ依存強度を記述する既存のモデルと比較して、どのように優れているか？

主な発見

• 電気めっきニッケル被膜を有する銅の見かけの硬度に対して、「ニー」関数は実験データと優れた適合を示し、パラメータとして $ H_f = 436 \pm 15 \, \text{MPa} $、$ H_s = 250 \pm 21 \, \text{GPa} $、$ m = 13.4 \pm 1.1 $ を得た。
• 材料の弾性から塑性への挙動遷移は、「ニー」関数によってよく記述されており、等価縦弾性係数は $ \frac{E^S}{E} = \frac{1}{1 + (\sigma/\sigma^*)^m} $ として減少する。
• 降伏応力 $ \sigma^* $ は、実験的応力-ひずみデータから導出された $ k $ および $ m $ を用いて、$ \sigma^* = \left( \frac{k^m}{E} \right)^{1/(m-1)} $ としてモデルで予測される。
• 接線縦弾性係数のずれ $ E' = E - E^T $ は、降伏付近で急激な遷移を示し、これは「ニー」関数によってよく捉えられている。
• モデルは破壊力学におけるマルチスケーリング行動を効果的に捉え、破壊応力が長き裂では $ \sigma \propto a^{-1/2} $（長き裂）、短き裂では $ \sigma = \sigma_0 $（短き裂）に遷移することを記述している。
• 「ニー」関数は被膜系におけるインデンテーションサイズ効果を効果的に記述でき、硬度の増加 $ H - H_s $ が相対的インデンテーション深さ $ \delta $ の関数としてパワー則の遷移を示している。