[論文レビュー] Power law rheology of generalised Maxwell and Kelvin-Voigt models

Pedro Patrício|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Theoretical and Computational Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、緩和時間または遅れ時間のべき乗スペクトルを用いた一般化されたMaxwellおよびKelvin-Voigtモデルのべき乗則流動特性を分析する。0 < α < 1の場合、両モデルともに軟らかく、生きた細胞などに見られるように、G′ ∼ G′′ ∼ ω^α というほぼ同一の弱いべき乗則的挙動を示すが、他のα値では、それらは明確に異なる非一様な挙動を示し、極端なαの極限では1要素モデルに収束する。

ABSTRACT

We analyse the rheological behaviour of the generalised Maxwell and Kelvin-Voigt models with a power law spectrum of relaxation or retardation times, ${\cal H}\sim 1/τ^α$ or ${\cal L}\sim τ^α$, respectively. When $02$.

研究の動機と目的

• 自己拡散ポリマー、ゲル、生きた細胞などの柔ららかく物質で観察される弱いべき乗則的流動特性（G′ ∼ G′′ ∼ ω^α）の起源を理解すること。
• 一般化されたMaxwellおよびKelvin-Voigtモデルが、緩和時間または遅れ時間のべき乗スペクトルを用いることで、この挙動をどのように再現できるかを調査すること。
• 異なるα値において、これらの2つのモデルが同一または相異なる流動的応答を示す条件を明確にすること、特にα値の違いに起因する挙動の差異を解明すること。
• 一般化されたMaxwellモデルの緩和スペクトルと一般化されたKelvin-Voigtモデルの遅れスペクトルとの間の数学的・物理的関係を確立すること。
• 極端なα領域（α < -1 または α > 2）において、両モデルが1要素モデルに収束することを示すこと。

提案手法

• 連続的な緩和スペクトル H ∼ 1/τ^α を用いて、一般化されたMaxwellモデルの複素弾性率 G*(ω) を導出する。
• 連続的な遅れスペクトル L ∼ τ^α を用いて、一般化されたKelvin-Voigtモデルの複素応答率 J*(ω) を導出する。
• ラプラス変換およびボルツマン重ね合わせ原理を用いて、時間領域の応答関数と周波数領域の弾性率との関係を確立する。
• Nモードによるスペクトルの離散化を用いて、G′(ω) および G′′(ω) を数値的に計算する。τ_i および J_i は、べき乗則的挙動を再現するように選定する。
• τ_i = τ_min * i^{(1+β)/α} および J_i = J * i^β を用いて、離散スペクトルを実装し、所望のα-スペクトルを達成する。
• 連続モデルと離散モデルの比較により結果を検証し、τ_min → 0 および τ_max → ∞ の極限で収束することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたMaxwellおよびKelvin-Voigtモデルが、G′ ∼ G′′ ∼ ω^α という弱いべき乗則的挙動を示す条件は何か？
• RQ2 0 < α < 1 の普遍的な弱いべき乗則領域を除き、α < 0 または α > 1 の場合、2つのモデルの流動的応答はどのように異なるか？
• RQ3 α < -1 および α > 2 の極限において、これらのモデルの挙動はどのようになるか？また、1要素のMaxwellおよびKelvin-Voigtモデルにどのように収束するか？
• RQ4 同じα値に対して、G′ と G′′ の交差点が2つのモデル間でどのようにずれるか？これは動的応答にどのような意味を持つのか？
• RQ5 有限のNモードを持つ離散モデルは、特に中間周波数領域において、連続的なべき乗則的挙動を正確に再現できるか？

主な発見

• 0 < α < 1 の場合、一般化されたMaxwellおよびKelvin-Voigtモデルの両方とも、G′(ω) ∼ G′′(ω) ∼ ω^α というほぼ同一の弱いべき乗則的挙動を示し、軟らかく物質の観測結果と一致する。
• 一般化されたKelvin-Voigtモデルでは、粘性弾性率 G′′(ω) の指数が、弾性率 G′(ω) の指数よりも常に大きいという特徴的な挙動を示すが、これはMaxwellモデルでは観察されない。
• α < -1 の場合、一般化されたMaxwellモデルは1要素のMaxwellモデルに収束し、G′(ω) ∼ ω^0 および G′′(ω) ∼ ω^1 となり、すべての周波数で純粋な粘性応答を示す。
• α > 2 の場合、一般化されたKelvin-Voigtモデルは1要素のKelvin-Voigtモデルに収束し、G′(ω) ∼ ω^0 および G′′(ω) ∼ ω^1 となり、低周波数領域で純粋な弾性挙動を示す。
• α < 0.5 の場合、一般化されたMaxwellモデルではG′ と G′′ の交差点が低周波数に位置するが、同じα値に対して一般化されたKelvin-Voigtモデルでは高周波数に位置する。
• τ_min = 10^{-3}、τ_max = 10^3、N = 10^3 として設定した離散Nモードモデルを用いた数値シミュレーションにより、解析的予測が確認され、中間周波数領域 10^{-1} < ω < 10^1 において良好な収束が得られた。