[論文レビュー] Power operations in the Kunneth spectral sequence and commutative HFp-algebras

Sean Tilson|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可換 $rm{H}\mathbb{F}_p$-代数の相対スモース積に対して、フィルター付き $R$-モジュールスペクトルのための新規な比較定理を用いて、クーニンフスペクトル系列の乗法性を確立する。$R = ku$、$BP\langle 2\rangle$、$MU$ の場合に、$rm{H}\mathbb{F}_p \wedge_R \mathrm{H}\mathbb{F}_p$ 上でのダイヤー＝ラシフト代数の作用を計算し、商スペクトルが可換 $R$-代数として実現可能でない非自明な障害を、作用素が検出することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we prove the multiplicativity of the Künneth spectral sequence. This is established by an analogue of the Comparison Theorem from homological algebra, which we suspect may be useful for other spectral sequences. This multiplicativity is then used to compute the action of the Dyer-Lashof algebra on $\HF_p \wedge_{ku} \HF_p$, $\HF_p \wedge_{\BP} \HF_p$, and part of the action on $\HF_p \wedge_{MU} \HF_p$. We then relate these computations to the construction of commutative $R$-algebra structures on commutative $\HF_p$-algebras. In the case of $MU$, we obtain a necessary closure condition on ideals $I\subset MU_*$ such that $MU/I$ can be realized as a commutative $MU$-algebra.

研究の動機と目的

• 可換環スペクトルの文脈において、クーニンフスペクトル系列の乗法性を確立すること。
• さまざまな $R$ に対して、相対スモース積 $\mathrm{H}\mathbb{F}_p \wedge_R \mathrm{H}\mathbb{F}_p$ 上でのダイヤー＝ラシフト代数の作用を計算すること。
• 商スペクトル $R/I$ が可換 $R$-代数構造をもつための必要条件を特定すること。
• $E_\infty$-環スペクトルの写像の余接複体における非自明なホモトピー類を検出するための作用素の役割を明確にすること。

提案手法

• フィルター付き $R$-モジュールスペクトルのための比較定理を導入し、フィルター付きモジュール間の写像をホモトピーの上に持ち上げる。
• 比較定理を用いて、$R$-代数におけるクーニンフスペクトル系列の乗法性を証明する。
• 乗法的構造を応用し、スペクトル系列内の作用素を用いて、$rm{H}\mathbb{F}_p \wedge_R \mathrm{H}\mathbb{F}_p$ 上でのダイヤー＝ラシフト作用を計算する。
• 写像 $rm{H}\mathbb{F}_p \to X$ のホモトピー的でない持ち上げを検出するため、$\pi_*X$ 内の障害類 $d(f,g)_*(\overline{p})$ を分析する。
• この $d(f,g)_*(\overline{p})$ の消えることと、$R$ 内で $p$ のホモトピー的ゼロホモトピーがホモトピックであることの関係を、フィルターの $H_\infty$-構造を用いて関係づける。
• スペクトル系列内の作用素 $Q^i(\overline{2}) = \overline{v}$ を用いて、$ku$ 内の $v$ と $2$ の自明化の間の関係を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環スペクトルの文脈において、クーニンフスペクトル系列をどのようにして乗法的にできるか？
• RQ2 $R = ku$、$BP\langle 2\rangle$、$MU$ の場合に、$rm{H}\mathbb{F}_p \wedge_R \mathrm{H}\mathbb{F}_p$ 上でのダイヤー＝ラシフト代数の作用は何か？
• RQ3 どのような条件下で、商 $R/I$ が可換 $R$-代数として実現可能となるか？
• RQ4 スペクトル系列内の作用素は、$\pi_*R$ 内の要素のホモトピー的ゼロホモトピーの障害をどのように検出するか？
• RQ5 $ku$ 内の $2 \in \pi_*ku$ の自明化を用いて、$v \in \pi_*ku$ の自明化を関手的に構成することは可能か？

主な発見

• クーニンフスペクトル系列は $R$-代数に対して乗法的であり、フィルターに $H_\infty$-構造が整合的である。これは先行文献の誤りを是正する。
• ダイヤー＝ラシフト代数の作用は、スペクトル系列内の作用素を用いて $rm{H}\mathbb{F}_2 \wedge_{ku} \mathrm{H}\mathbb{F}_2$ 上に計算され、$Q^2(\overline{2}) = \overline{v}$ が成り立つ。
• $R = BP\langle 2\rangle$ の場合、$rm{H}\mathbb{F}_2 \wedge_R \mathrm{H}\mathbb{F}_2$ 上でのダイヤー＝ラシフト作用が計算され、ホモトピー群内に非自明な関係が明らかになった。
• $MU$ の場合、$MU/I$ が可換 $MU$-代数構造をもつための必要十分条件として、$MU_*$ 内のイデアル $I$ に対する閉包条件が得られた。
• $\pi_*\mathrm{H}\mathbb{F}_p \wedge_R \mathrm{H}\mathbb{F}_p$ 内のクラス $\overline{p}$ は、余接複体内の非自明な障害を証明する証人として機能し、$d(f,g)_*(\overline{p}) = 0$ であることは、$p$ のゼロホモトピーがホモトピックであることと同値である。
• 作用素は、$ku$ 内の $2$ の自明化が $v$ の自明化に非自明な関係を誘導することを検出するが、$\pi_*ku$ 内で $Q^2(2) = v$ が成り立たないにもかかわらずである。