[논문 리뷰] Power Utility Maximization in Discrete-Time and Continuous-Time Exponential Levy Models

Johannes Temme|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최소한의 가정 하에 지수 레비 모델에서 이산 시간 포트폴리오 전략의 최적화가 연속 시간에 대응하는 전략으로 수렴함을 확립한다. 이는 재균형 시점의 수가 증가할수록 이산 시간 모델에서 위험 자산에 투자할 자산의 비율이 연속 시간에서의 일정한 최적 전략으로 수렴함을 증명하며, 이러한 수렴을 보장하는 레비 과정에 대한 명시적인 조건을 제시한다.

ABSTRACT

Consider power utility maximization of terminal wealth in a 1-dimensional continuous-time exponential Levy model with finite time horizon. We discretize the model by restricting portfolio adjustments to an equidistant discrete time grid. Under minimal assumptions we prove convergence of the optimal discrete-time strategies to the continuous-time counterpart. In addition, we provide and compare qualitative properties of the discrete-time and continuous-time optimizers.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간 지수 레비 모델에서 최적의 이산 시간 포트폴리오 전략이 재균형 시점의 수가 증가함에 따라 연속 시간 최적 전략으로 수렴하는지 조사한다.
• 변동성과 드리프트 조건이 다양할 경우 이산 시간 및 연속 시간 최적 전략의 정성적 행동을 분석한다.
• 연속 시간 최적 전략이 이산 시간 설정에서 여전히 허용 가능한지에 대한 조건을 설정한다. 특히 레비 트리플렛과 적분 가능성 가정의 역할에 초점을 맞춘다.
• 이산 시간과 연속 시간에서 최적 전략의 구조와 성질을 비교하며, 특히 허용 가능한 일정 전략의 정의역에 초점을 맞춘다.
• 레비 과정에 대한 최소한의 가정 하에 확률 미적분학과 이산 그론발라 유형 부등식을 사용하여 수렴 증명을 엄밀히 제시한다.

제안 방법

• 유한한 시간 간격 $ T $ 동안 등간격 $ N $ 개의 시간 점에 대해 포트폴리오 재균형을 제한함으로써 연속 시간 지수 레비 모델을 이산화한다.
• 첫 번째 기간의 레비 과정 분포로부터 유도된 결정론적 볼록 함수 $ g^N $ 의 최대화자로 이산 시간 최적 전략 $ \pi_N^* $ 을 정의한다.
• 전체 레비 트리플렛에 기반한 결정론적 볼록 함수 $ g $ 의 최대화자로 연속 시간 최적 전략 $ \pi^* $ 을 정의한다.
• 이토의 공식과 확률 지수의 모멘트 추정을 활용하여 연속 시간 및 이산 시간의 자산 가치 과정 간의 차이를 경계한다.
• 시간 단계에 걸친 오차 전파를 제어하기 위해 이산 그론발라 보조정리를 적용하여 $ N \to \infty $ 일 때 최적 전략의 수렴을 보장한다.
• 성능 함수의 포트폴리오 가중치 및 위험 회피 파라미터에 대한 일阶 및 이阶 도함수의 연속성을 확립함으로써, 수렴 증명에서 은닉 함수 정리의 응용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 점의 수 $ N \to \infty $ 일 때 최적의 이산 시간 전략 $ \pi_N^* $ 이 연속 시간 최적 전략 $ \pi^* $ 으로 수렴하는가?
• RQ2 레비 과정의 어떤 조건(예: 브라운 운동의 존재 또는 점프의 존재) 하에서 연속 시간 최적 전략 $ \pi^* $ 이 이산 시간 모델에서 허용 가능한가?
• RQ3 레비 과정의 드리프트의 부호와 위험 회피 파라미터 $ p $ 는 이산 시간 및 연속 시간에서 최적 전략의 구조와 값에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 수렴 속도 $ \pi_N^* $ 에서 $ \pi^* $ 로는 어떻게 되며, 이는 레비 트리플렛과 과정의 적분 가능성에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 두 모델의 최적 전략은 모두 시간에 따라 일정한가? 만약 그렇다면 이러한 일관성이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 최소한의 가정, 즉 레비 과정의 적분 가능성과 비영인 브라운 운동 성분 또는 양음의 점프가 동시에 존재하는 조건 하에서, $ N \to \infty $ 일 때 최적의 이산 시간 전략 $ \pi_N^* $ 이 연속 시간 최적 전략 $ \pi^* $ 으로 수렴한다.
• 최적의 연속 시간 전략 $ \pi^* $ 는 일정하며, 레비 트리플렛에 따라 정의되는 결정론적 볼록 함수 $ g $ 의 최대화자로 주어지며, 제시된 조건 하에서 $[0,1]$ 에 속한다.
• 최적의 이산 시간 전략 $ \pi_N^* $ 역시 시간에 따라 일정하며, 첫 번째 기간의 증분에만 의존하는 결정론적 볼록 함수 $ g^N $ 의 최대화자로 주어진다.
• 수렴 속도 $ \pi_N^* $ 에서 $ \pi^* $ 로는 $ O(n^{-1}) $ 이며, 여기서 $ n = N $ 이며, 모멘트 추정과 이산 그론발라 보조정리의 적용으로 인해 유도된다.
• 최적성의 일阶 조건을 정의하는 함수 $ K(\pi, p) = \partial I / \partial \pi $ 과 $ M(\pi, p) = \partial I / \partial p $ 는 허용 가능한 전략 집합의 내부에서 연속적이며, 이는 최대화자들의 안정성을 보장한다.
• 오직 양의 점프 또는 오직 음의 점프만 존재하는 순수 점프 과정의 경우, 허용 가능한 전략 집합은 $ N $ 에 의존하지만, 비영인 브라운 운동 성분 또는 혼합 점프가 존재하는 조건 하에서는 집합이 균일하게 $[0,1]$ 이 되어 수렴 분석을 단순화한다.