[論文レビュー] Pragmatic SAE procedure in the Schrodinger equation for the inverse-square-like potentials

Teimuraz Nadareishvili, Anzor Khelashvili|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、逆二乗型ポテンシャルに対する径方向シュレーディンガー方程式における自己共役拡張（SAE）手順について実用的なアプローチを提示し、特定のパrameter範囲では非正則解を保持する必要があることを示している。この方法により、径方向波動関数の境界条件が確立され、遷移的ポテンシャルに対して一貫した解が得られ、水素型準位を含む物理的に意味のある結果が得られる。

ABSTRACT

The Self-Adjoint Extension in the Schrodinger equation for potentials behaved as an attractive inverse square at the origin is critically reviewed. Original results are also presented. It is shown that the additional non-regular solutions must be retained for definite interval of parameters, which requires a necessity of performing a Self-Adjoint Extension (SAE) procedure of radial Hamiltonian.The Pragmatic approach is used and some of its consequences are considered for wide class of transitive potentials. Our consideration is based on the established earlier by us a boundary condition for the radial wave function and the corresponding consequences are derived. Various relevant applications are presented as well. They are: inverse square potential in the Schrodinger equation is solved when the additional non-regular solution is retained. Valence electron model and the Klein-Gordon equation with the Coulomb potential is considered and the hydrino -like levels are discussed.

研究の動機と目的

• 原点における逆二乗型ポテンシャルを有する径方向シュレーディンガー方程式の自己共役性問題を解決すること。
• 明確なパrameter区間において物理的に非正則解を保持することの正当化。
• 先行研究に基づく境界条件を、径方向波動関数に一貫して定式化すること。
• 広範なクラスの遷移的ポテンシャルへと実用的SAE手順を拡張すること。
• 量子モデルへの応用の探求、特に価電子系およびクーロンポテンシャルを有するキルヒホッフ＝ゴードン方程式を含む。

提案手法

• 逆二乗ポテンシャルを有する径方向シュレーディンガー方程式に自己共役拡張（SAE）手順を適用すること。
• 先行理論的考察に基づく径方向波動関数の境界条件の導出。
• 自己共役性を維持するために、特定のパrameter範囲で非正則解を保持すること。
• 特異な場合において数学的厳密性を犠牲にしても物理的整合性を重視する実用的戦略の採用。
• 解析的接続および対称性の考察を通じて、遷移的ポテンシャルへの手法の拡張。
• 形式的理論をシュレーディンガー方程式およびキルヒホッフ＝ゴードン方程式におけるクーロンポテンシャルに適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆二乗型ポテンシャルを有する径方向シュレーディンガー方程式において、非正則解を保持する必要がある条件は何か？
• RQ2 特異ポテンシャル問題における径方向波動関数に対して、一貫した境界条件をどのように定義できるか？
• RQ3 自己共役拡張枠組みに非正則解を含めることによる物理的結果は何か？
• RQ4 実用的SAE手順を広範なクラスの遷移的ポテンシャルへ一般化できるか？
• RQ5 拡張された解は、クーロン系における観測可能な現象、例えば水素型エネルギー準位を予測できるか？

主な発見

• 逆二乗ポテンシャルにおいて、ハミルトニアンの自己共役性を保証するため、明確なパrameter区間で非正則解を保持する必要がある。
• 径方向波動関数に対する一貫した境界条件が確立され、物理的に意味のある解空間が得られる。
• シュレーディンガー方程式における逆二乗ポテンシャルは、非正則成分を含めることで解が得られ、離散的エネルギー準位を示す。
• クーロンポテンシャルを有する価電子モデルは、提案されたSAE枠組み下で水素型エネルギー準位を生成する。
• クーロンポテンシャルを有するキルヒホッフ＝ゴードン方程式に対しても非正則解が許容され、異常な束縛状態の存在を支持する。
• 実用的SAEアプローチは、複数の量子系にわたり一貫性があり、物理的に解釈可能な解を提供する。