[論文レビュー] Predicting parameters for the Quantum Approximate Optimization Algorithm for MAX-CUT from the infinite-size limit

Sami Boulebnane, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、無限大サイズ極限を分析することで、定数平均次数を持つランダム・エローズ・レニー図形におけるMAX-CUTの最適QAOAパラメータを予測する理論的枠組みを構築する。これにより、MAX-CUTとシェリングトン・キルカレー（SK）モデルとの間の写像関係を確立する。大規模n極限におけるQAOAエネルギーの解析的に取り扱いやすい表現を導出し、数値的に妥当性を検証した。その結果、SKモデルから導かれるパラメータが、小さな有限サイズのインスタンスに対しても良好に一般化されることを示した。

ABSTRACT

Combinatorial optimization is regarded as a potentially promising application of near and long-term quantum computers. The best-known heuristic quantum algorithm for combinatorial optimization on gate-based devices, the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA), has been the subject of many theoretical and empirical studies. Unfortunately, its application to specific combinatorial optimization problems poses several difficulties: among these, few performance guarantees are known, and the variational nature of the algorithm makes it necessary to classically optimize a number of parameters. In this work, we partially address these issues for a specific combinatorial optimization problem: diluted spin models, with MAX-CUT as a notable special case. Specifically, generalizing the analysis of the Sherrington-Kirkpatrick model by Farhi et al., we establish an explicit algorithm to evaluate the performance of QAOA on MAX-CUT applied to random Erdos-Renyi graphs of expected degree $d$ for an arbitrary constant number of layers $p$ and as the problem size tends to infinity. This analysis yields an explicit mapping between QAOA parameters for MAX-CUT on Erdos-Renyi graphs of expected degree $d$, in the limit $d o \infty$, and the Sherrington-Kirkpatrick model, and gives good QAOA variational parameters for MAX-CUT applied to Erdos-Renyi graphs. We then partially generalize the latter analysis to graphs with a degree distribution rather than a single degree $d$, and finally to diluted spin-models with $D$-body interactions ($D \geq 3$). We validate our results with numerical experiments suggesting they may have a larger reach than rigorously established; among other things, our algorithms provided good initial, if not nearly optimal, variational parameters for very small problem instances where the infinite-size limit assumption is clearly violated.

研究の動機と目的

• 組合せ最適化におけるQAOAのパラメータ最適化の課題に取り組み、解析的に予測可能な初期パラメータを導出する。
• ファリらによるSKモデルの分析を、スパースなエローズ・レニー図形およびより一般的なランダム図形集合へと拡張する。
• 無限大サイズ極限において、スパース図形におけるMAX-CUTの最適QAOAパラメータとSKモデルのパラメータとの間の写像を提供する。
• 希釈スピンモデルにおけるD体相互作用および非一様次数分布へと結果を一般化する。
• 有限サイズインスタンスにおける数値実験を通じて理論的予測の妥当性を検証し、有限サイズのずれにもかかわらず堅牢であることを示す。

提案手法

• 平均次数dが定数であるエローズ・レニー確率的図形の無限大サイズ極限におけるQAOAエネルギーの正確な式を導出する。
• d→∞極限において、エローズ・レニー図形におけるMAX-CUTのQAOAパラメータとSKモデルとの間の数学的写像を確立する。
• モーメントに基づく解析と母関数を用いて、希釈スピンモデルおよびD体相互作用のQAOA期待値を計算する。
• p≤3の層数を持つ有限サイズのSKモデルインスタンスのQAOAエネルギーを推定するためのモンテカルロアルゴリズムを開発する。
• 有限サイズの図形における古典的最適化ループにおいて、無限大サイズ極限からのパラメータ予測値を初期推定値として適用する。
• エローズ・レニー図形およびチュン＝ル図形における数値実験を通じて、予測値と最適化済みパラメータを比較し、結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースなエローズ・レニー図形におけるMAX-CUTの最適QAOAパラメータは、無限大サイズ極限において解析的に予測可能か？
• RQ2 大規模n極限において、MAX-CUTにおけるQAOAの性能は、シェリングトン・キルカレー（SK）モデルにおける性能とどのように関係するか？
• RQ3 SKモデルから導かれたパラメータは、有限でスパースなMAX-CUTインスタンスへとどの程度一般化可能か？
• RQ4 次数分布およびD体相互作用は、無限大サイズ領域におけるQAOAパラメータの分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 p≤3の有限サイズのSKモデルインスタンスについて、QAOAエネルギーを効率的に推定できるモンテカルロアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• n→∞極限において、エローズ・レニー図形におけるQAOAエネルギーの正確な式が導出され、パラメータの解析的最適化が可能になった。
• エローズ・レニー図形におけるMAX-CUTの最適QAOAパラメータと、d→∞極限におけるSKモデルとの間の直接的な写像関係が確立された。
• 数値実験の結果、無限大サイズ極限から予測されたパラメータが、n=10という小さなサイズの有限インスタンスに対しても良好な初期値を提供することが示された。
• 不均一な期待次数を持つチュン＝ル図形では、最適QAOAパラメータが次数分布の変化にほとんど影響を受けず、その堅牢性が示された。
• βおよびγの角度を√dでスケーリングすることで、異なる平均次数間で一貫性が保たれ、パラメータ写像の普遍性が裏付けられた。
• p≤3の有限サイズSKモデルインスタンスにおけるQAOAエネルギー推定に適したモンテカルロアルゴリズムが開発され、分散が有界であり、理論的予測の効率的かつ有効な有限サイズ検証が可能になった。