[論文レビュー] Prescribing integral curvature equation

Mei‐Jun Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異積分作用素を用いて、$\mathbb{S}^{n}$ 上の新しい種類の積分的曲率作用素を導入し、曲率関数を規定するための共形的共変な枠組みを提供する。本稿は、$\mathbb{S}^{n}$ 上の反対称的対称性を持つ曲率関数に対して正の解の存在を確立し、このような対称性のもとで $\mathbb{S}^{3}$ 上の $Q$-曲率規定問題に対する最初の存在結果を証明する。

ABSTRACT

In this paper we formulate new curvature functions on $\mathbb{S}^n$ via integral operators. For certain even orders, these curvature functions are equivalent to the classic curvature functions defined via differential operators, but not for all even orders. Existence result for antipodally symmetric prescribed curvature functions on $\mathbb{S}^n$ is obtained. As a corollary, the existence of a conformal metric for an antipodally symmetric prescribed $Q-$curvature functions on $\mathbb{S}^3$ is proved. Curvature function on general compact manifold as well as the conformal covariance property for the corresponding integral operator are also addressed, and a general Yamabe type problem is proposed.

研究の動機と目的

• 微分作用素の代わりに積分作用素を用いて、$\\S^n$ 上に新しい曲率関数を定式化すること。
• 新規の積分的定式化を導入することにより、長年の未解決問題である $\S^3$ 上での $Q$-曲率の規定問題を解決すること。
• 積分方程式を用いて、$\S^n$ 上の反対称的対称曲率関数の存在結果を確立すること。
• 共形幾何学の枠組みを、共形的共変性を有する積分作用素を含むように拡張すること。
• 積分作用素と高階の GJMS 型微分作用素との関係を調査すること。

提案手法

• 共形ラプラシアンのグリーン関数を用いて、$I_{M^{n},g_{0},\beta}(f)(x) = \int_{M^{n}} [G^{g_{0}}(y,x)]^{\frac{\alpha-n}{2-n}} f(y) dV_{g_{0}}(y)$ として積分作用素を定義する。
• 共形変換 $g_1 = \phi^{\frac{4}{n-\alpha}} g_0$ の下で、共形的共変性 $I_{g_{1},\alpha}(u) = \phi^{\frac{\alpha-n}{n-2}} I_{g_{0},\alpha}(\phi^{\frac{2n}{n-\alpha} + \frac{\alpha-n}{n-2}} u)$ を確立する。
• 関数 $Q_{\alpha,g}$ を、$\phi(x) = I_{M^{n},g_{0},\alpha}(Q_{\alpha,g} \phi^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}})$ を満たすものとして定義する。
• $\alpha > n$ および反対称的対称関数 $R$ に対して、積分方程式 $u(\xi) = \int_{\mathbb{S}^n} R(\eta) u^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}}(\eta) |\xi - \eta|^{\alpha - n} d\eta$ の正の解の存在を証明する。
• 微分作用素（例：$(-\Delta)^2$）が特定の状況で非自明な曲率を生成できないという失敗を回避するために、共形的共変性と積分的定式化を活用する。
• カファレッリ＝シルベストレ拡張を介して、積分作用素と分数ラプラシアンとの関係を活用し、GJMS 演算子の枠組みと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\S^n$ 上で、特定の偶数順序では古典的微分曲率作用素と等価だが、すべての順序で等価ではない、積分作用素を用いて新しい種類の曲率関数を定義できるか？
• RQ2 反対称的対称曲率関数に対して、$\S^3$ 上での $Q$-曲率問題の積分的定式化が正の解を有するか？
• RQ3 共形計量変更 $g_1 = \phi^{\frac{4}{n-\alpha}} g_0$ の下で、提案された積分作用素 $I_{M^{n},g_{0},\alpha}$ の共形的共変性は何か？
• RQ4 積分曲率作用素は、共形幾何学において GJMS 演算子や分数ラプラシアンとどのように関係しているか？
• RQ5 積分的定式化は、微分作用素定式化では存在を妨げる障害（例：カザン＝ワーナーの障害）を解消できるか？

主な発見

• 本稿は、$\alpha > n$ および $\mathbb{S}^n$ 上の反対称的対称関数 $R$ に対して、積分曲率方程式 $u(\xi) = \int_{\mathbb{S}^n} R(\eta) u^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}}(\eta) |\xi - \eta|^{\alpha - n} d\eta$ の正の解の存在を証明する。
• 系として、反対称的対称関数 $R$ に対して、$\mathbb{S}^3$ 上に所望の $Q$-曲率を持つ共形的計量が存在することが示される。
• 提案された積分作用素 $I_{M^{n},g_{0},\alpha}$ が、共形計量変更 $g_1 = \phi^{\frac{4}{n-\alpha}} g_0$ の下で共形的共変性を有することを示した。これは、古典的な共形ラプラシアンの共形的共変性を一般化するものである。
• 提案された $\alpha$-曲率 $Q_{\alpha,g}$ は、方程式 $\phi(x) = I_{M^{n},g_{0},\alpha}(Q_{\alpha,g} \phi^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}})$ を用いて定義され、$\alpha = 2$ のときスカラー曲率に還元される。
• 微分作用素（例：$(-\Delta)^2$）が標準球面上で $Q$-曲率がゼロとなるという問題を、積分的定式化が回避できることを示した。
• 本稿は、積分作用素と GJMS 演算子との間の関係を確立し、Hang と Yang [27] の参照により、$\alpha = 4$ の場合に積分作用素が GJMS 演算子に対応することが確認されている。