[論文レビュー] Preservation of Equations by Monoidal Monads

Louis Parlant, Jurriaan Rot+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、モノイダルモナドが代数的等式を保存するための必要十分条件を確立し、厳密なドロップ等式を保存するための必要十分条件がアフィン性であることを示し、2-区別可能なダプ等式を保存するための必要十分条件が関連性であることを示している。さらに、モナドによる等式保存の一般問題が決定不能であることを証明し、モノイダルモナドにおける等式保存の包括的な圏論的特徴付けを提供している。

ABSTRACT

If a monad T is monoidal, then operations on a set X can be lifted canonically to operations on TX. In this paper we study structural properties under which T preserves equations between those operations. It has already been shown that any monoidal monad preserves linear equations; affine monads preserve drop equations (where some variable appears only on one side, such as x⋅ y = y) and relevant monads preserve dup equations (where some variable is duplicated, such as x ⋅ x = x). We start the paper by showing a converse: if the monad at hand preserves a drop equation, then it must be affine. From this, we show that the problem whether a given (drop) equation is preserved is undecidable. A converse for relevance turns out to be more subtle: preservation of certain dup equations implies a weaker notion which we call n-relevance. Finally, we identify a subclass of equations such that their preservation is equivalent to relevance.

研究の動機と目的

• 論文は、モノイダルモナドが代数的等式を保存する条件、特にドロップおよびダプ等式に注目して調査する。
• 以前に知られていた十分条件（ドロップ等式に対してはアフィン性、ダプ等式に対しては関連性）が、必要条件であるかどうかも特定することを目的としている。
• モナドの性質（アフィン、関連、n-関連）と特定の等式クラスの保存との間の正確な関係を特徴付けること。
• 等式保存問題のアルゴリズム的複雑性を調査し、その決定不能性を確立する。

提案手法

• 著者は、特に代数的理論によるモナドの提示を用いた圏論的および代数的技法を用いる。
• 集合 X からその自由代数 TX への操作の標準的リフトを定義し、それらを分析する。
• 全関連性よりも弱い条件である n-関連性という概念を導入し、特定のダプ等式クラスに特化して用いる。
• 項と等式の記号的解析を用い、項の書き換えと等式の導出可能性を用いて保存性を評価する。
• 証明戦略は、モナドの性質（例：関連性）を、それらの背後にある代数的理論における恒等式に関連付けることである。
• 重要な技術的アプローチとして、変数の順序と出現パターンが項を一意に区別する2-区別可能な等式の使用がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モナドが厳密なドロップ等式を保存するためのアフィン性は、必要条件か？
• RQ2 モナドが2-区別可能なダプ等式を保存するための関連性は、必要十分条件か？
• RQ3 特定のダプ等式の保存は、完全な関連性よりも弱い概念で特徴付けられるか？
• RQ4 与えられた等式をモナドが保存するかどうかを決定する一般問題は、決定可能か？
• RQ5 特定の等式クラスを保存するモナドの正確な代数的特徴付けは何か？

主な発見

• モノイダルモナドがすべての厳密なドロップ等式を保存するための必要十分条件は、アフィン性である。
• モノイダルモナドがすべての2-区別可能な等式を保存するための必要十分条件は、関連性である。
• 特定のダプ等式の保存には、完全な関連性よりも弱い性質である n-関連性で十分であり、これは完全な関連性よりも厳密に弱い。
• 与えられた等式をモノイダルモナドが保存するかどうかを決定する一般問題は、決定不能である。
• 本論文は、関連性の代数的特徴付けを提示している：任意の n-項演算 f に対して、恒等式 f(f(x11,…,x1n),…,f(xn1,…,xnn)) = f(x11,…,xnn) が成立する必要がある。
• 従来の研究を拡張し、[4]で示された十分条件が、必要条件であることも示しており、分野における長年の未解決問題を解決している。