[論文レビュー] Presheaf Models of Relational Modalities in Dependent Type Theory

Andreas Nuyts|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ブリッジ/パス立方体集合を用いて、関係的モダリティを備えた依存型理論のプレシェーフモデルを提示する。パラメトリックおよび関連性に基づく型システムを解釈する。豊富なプレシェーフ圏を用いて、パラメトリック依存型理論および関係的依存型理論の形式的意味論を確立し、滑らかでファイブレーション的な設定において、離散型と関連度の度合いの注釈を伴う、グルーイング、ウェルディング、および同一性型といった重要な型理論的構成を証明する。

ABSTRACT

This report is an extension of 'A Model of Parametric Dependent Type Theory in Bridge/Path Cubical Sets' (Nuyts, arXiv:1706.04383). The purpose of this text is to prove all technical aspects of our model for dependent type theory with parametric quantifiers (Nuyts, Vezzosi and Devriese, 2017) and with degrees of relatedness (Nuyts and Devriese, 2018).

研究の動機と目的

• ブリッジ/パス立方体集合上のプレシェーフ圏において、パラメトリック依存型理論（ParamDTT）の意味論を形式化すること。
• このモデルを、型理論における関連度の度合いをサポートするように拡張し、二元的なブリッジ/パスの区別から多段階の関連性へ一般化すること。
• 滑らかでファイブレーション的な設定において、グルーイング、ウェルディング、同一性型、および帰納型といった、型理論的構成の形式的解釈を確立すること。
• 圏論的および型理論的道具を用いて、依存型理論におけるパラメトリシティと関連的推論の基礎を提供すること。

提案手法

• 次元がブリッジまたはパスとしてラベル付けされた、ブリッジ/パス立方体からなる基本圏 BPCube を構成し、そのプレシェーフ圏としてのブリッジ/パス立方体集合を定義する。
• 標準的なモーリス・ローフ型理論のプレシェーフモデルを、豊富な圏的構造を用いて、パラメトリック全称量化子および関係的モダリティをサポートするように変更する。
• 離散型関手を導入し、離散型が型理論的構成に対して閉じた完全部分圏をなすことを示す。
• 区間変数および証明合成変数を含む文脈拡張と代入を、シャッフル関手およびリフト技術を用いてモデル化する。
• 顔の述語、システム、およびユニファイアを用いてグルーイングおよびウェルディング操作を定義・解釈し、定義的等価性およびパス退化と整合性を保証する。
• 公理的コhesivityを適用して、BPCube プレシェーフ圏と標準的な立方体圏との関係を確立し、離散性およびファイブレーションの構造的取り扱いを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ブリッジ/パス立方体の圏上のプレシェーフ圏において、パラメトリック依存型理論をモデル化できるか？
• RQ2 立方体集合を用いて、関係的モダリティと関連度の度合いを、型理論的設定でどのように形式化できるか？
• RQ3 離散型を伴う滑らかでファイブレーション的な設定において、グルーイングおよびウェルディングの圏論的および型理論的性質は何か？
• RQ4 シャッフル関手およびリフト構成は、区間変数および証明合成変数を含む文脈において、型理論的構造をどのように保存するか？
• RQ5 グルーイングおよびウェルディングに対して閉じており、完全な依存型理論をサポートする離散型のユニバースを構築できるか？

主な発見

• BPCube 上のプレシェーフ圏において、パラメトリック依存型理論（ParamDTT）の完全な形式的解釈が達成され、グルーイングおよびウェルディングを含むすべての核心的な型付け規則が、圏論的リフトおよびコhesivityを用いて検証された。
• モデルは、すべての依存型コンストラクタ、特に Σ、Π、同一性型、および帰納型を含む、離散型のユニバースをサポートしており、それらがすべて閉じている。
• 有限深さの立方体集合による関連度の度合いの注釈の導入により、二元的ブリッジ/パスの区別を越えた、関係的パラメトリシティの洗練された取り扱いが可能になった。
• グルーイングおよびウェルディング操作は、顔の述語およびシステムを用いて解釈され、パス退化公理により定義的等価性と整合性が保証された。
• シャッフル関手およびリフトされた随伴関手の使用により、特に区間変数および証明合成変数を含む文脈拡張と代入の正確なモデル化が可能になった。
• モデルは、ウェルド型の帰納法則を検証しており、右随伴を持つ中心的なシャッフル関手の下でそれが保存されることを示した。