[論文レビュー] Pricing equity-linked life insurance contracts with multiple risk factors by neural networks

Karim Barigou, Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management参考文献 38被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、金利、株式、ボラティリティ、死亡率の複数の確率的リスク要因を有する高次元で不完全な市場において、株式連動型生命保険契約の価格付けをニューラルネットワークベースの手法で行うことを提案する。公平な価格付け問題をジャンプを伴う後向き確率的微分方程式（BSDE）に再定式化し、著者らは二重のニューラルネットワークアーキテクチャを用いて、得られる非線形PDE系を効率的に解き、モンテカルロシミュレーションと比較して高速な収束性と高い精度を達成した。相対誤差は0.2%未満であった。

ABSTRACT

This paper considers the pricing of equity-linked life insurance contracts with death and survival benefits in a general model with multiple stochastic risk factors: interest rate, equity, volatility, unsystematic and systematic mortality. We price the equity-linked contracts by assuming that the insurer hedges the risks to reduce the local variance of the net asset value process and requires a compensation for the non-hedgeable part of the liability in the form of an instantaneous standard deviation risk margin. The price can then be expressed as the solution of a system of non-linear partial differential equations. We reformulate the problem as a backward stochastic differential equation with jumps and solve it numerically by the use of efficient neural networks. Sensitivity analysis is performed with respect to initial parameters and an analysis of the accuracy of the approximation of the true price with our neural networks is provided.

研究の動機と目的

• 複数の相関する確率的リスク要因が存在する状況下で、株式連動型生命保険契約を計算的に効率的かつ正確に価格付けする手法を開発すること。
• 不完全市場ヘッジとヘッジ不能リスクに起因する高次元非線形PDE系の解法における次元の呪いに対処すること。
• 即時の標準偏差リスクマージンを用いて、ヘッジ不能な死亡率および金融リスクのリスクマージンを価格設定フレームワークに統合すること。
• 実務的アクチュアリー用途を想定し、モンテカルロシミュレーションとの比較によるニューラルネットワーク手法の妥当性を検証し、感度分析を実施すること。
• 既存の深層学習PDEソルバーを拡張し、ジャンプ過程および多要因の確率的死亡率とボラティリティモデルを扱えるようにすること。

提案手法

• 公平な価格付け問題は、不完全市場の仮定の下で、局所的分散最小化とリスクマージンアプローチから導かれた非線形PDE系として定式化される。
• 死亡率のジャンプと確率的ボラティリティを組み込むために、PDE系をジャンプを伴う後向き確率的微分方程式（BSDE）に再定式化する。
• 二重のニューラルネットワークアーキテクチャを採用する：一方のネットワークは勾配（拡散成分）を近似し、もう一方はジャンプ成分をモデル化し、第三のネットワークはさまざまな初期パラメータに対する初期価格を出力する。
• ニューラルネットワークの出力とPDE系の真の解との間の平均二乗誤差を最小化するように、強化学習にインspiredした訓練手法を用いる。
• アルゴリズムは時間離散化スキームを用いて訓練され、リスク中立測度の下で金利（Hull-White）、株式（Heston）、ボラティリティ（CIR）、死亡率（Fellerプロセス）の確率過程がシミュレートされる。
• 感度分析は、初期パラメータを変化させ、モンテカルロベンチマークと比較することで実施される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニューラルネットワークは、複数のリスク要因を有する株式連動型保険契約の公平価格付けに起因する高次元非線形PDE系を効果的に解くことができるか？
• RQ2 提案されたニューラルネットワークアーキテクチャは、特に確率的死亡率とボラティリティをモデル化する際、ジャンプを伴うBSDEの解を近似する際にどの程度の性能を示すか？
• RQ3 従来のモンテカルロシミュレーションと比較して、ニューラルネットワーク価格付け手法の収束速度と精度はいかがなっているか？
• RQ4 金利、ボラティリティ、死亡率強度といった主要なモデルパラメータの変化に対して、キャリブレーションされた価格はどの程度感度を示すか？
• RQ5 ニューラルネットワークフレームワークは、さまざまな初期条件を扱えるように拡張可能であり、大規模な保険ポートフォリオに対する迅速かつスケーラブルな価格設定を可能にするか？

主な発見

• ニューラルネットワーク手法は高速な収束を達成し、GMMBの例では約25〜100エポックで安定化し、モンテカルロシミュレーションと比較して相対誤差が約0.2%にとどまった。
• 真の価格の近似において高い精度を示し、最終的な平均二乗誤差（MSE）は[10⁻²; 10⁻¹]の範囲に収まり、最先端の深層PDEソルバーと整合的であった。
• 二重ネットワークアーキテクチャは、BSDEの拡散（勾配）成分とジャンプ（死亡率）成分を効果的に捉えており、ヘッジ不能リスクの強固なモデリングを可能にした。
• 感度分析により、キャリブレーションされた価格がモデルパラメータの変化に対して直感的に振る舞うことが確認され、モデルの経済的妥当性が裏付けられた。
• 初期価格出力を扱う第三のサブネットワークの導入により、再トレーニングを伴わずにさまざまな初期パラメータの範囲での効率的な評価が可能になった。
• 深層学習を活用することで、大規模な保険ポートフォリオにおける次元の呪いと再帰的PDE解法の課題を効果的に処理した。