[论文解读] Pricing Financial Derivatives with Exponential Quantum Speedup

Javier Gonzalez-Conde, Ángel Rodríguez‐Rozas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文提出了一种数字量子算法，通过在量子计算机上对黑-斯科尔斯方程进行哈密顿量模拟，求解欧式期权定价问题，通过使用一个辅助量子比特将非厄米动态嵌入扩展的希尔伯特空间，实现指数级加速，并通过第二个辅助量子比特实现周期性边界条件。该方法在10量子比特和94个纠缠门下达到经典水平的精度，且后选择成功概率超过60%。

ABSTRACT

Pricing financial derivatives, in particular European-style options at different time-maturities and strikes, is a relevant financial problem. The dynamics describing the price of vanilla options when constant volatilities and interest rates are assumed, is governed by the Black-Scholes model, a linear parabolic partial differential equation with terminal value given by the pay-off of the option contract and no additional boundary conditions. Here, we present a digital quantum algorithm to solve Black-Scholes equation on a quantum computer for a wide range of relevant financial parameters by mapping it to the Schr\\"odinger equation. The non-Hermitian nature of the resulting Hamiltonian is solved by embedding the dynamics into an enlarged Hilbert space, which makes use of only one additional ancillary qubit. Moreover, we employ a second ancillary qubit to transform initial condition into periodic boundary conditions, which substantially improves the stability and performance of the protocol. This algorithm shows a feasible approach for pricing financial derivatives on a digital quantum computer based on Hamiltonian simulation, technique which differs from those based on Monte Carlo simulations to solve the stochastic counterpart of the Black Scholes equation. Our algorithm remarkably provides an exponential speedup since the terms in the Hamiltonian can be truncated by a polynomial number of interactions while keeping the error bounded. We report expected accuracy levels comparable to classical numerical algorithms by using 10 qubits and 94 entangling gates on a fault-tolerant quantum computer, and an expected success probability of the post-selection procedure due to the embedding protocol above 60\\%.

研究动机与目标

• 开发一种用于金融衍生品定价的量子算法，实现在经典方法上的指数级加速。
• 解决在量子计算机上使用哈密顿量模拟求解非厄米黑-斯科尔斯方程的挑战。
• 通过辅助量子比特将初始条件转换为周期性边界条件，以提高稳定性和性能。
• 在容错量子硬件上实现可行的部署，具备有界误差和高成功概率。

提出的方法

• 将黑-斯科尔斯方程映射为薛定谔方程形式。
• 使用一个辅助量子比特将非厄米哈密顿量嵌入扩展的希尔伯特空间，以保持幺正性。
• 使用第二个辅助量子比特将初始条件转换为周期性边界条件，从而增强数值稳定性。
• 算法采用哈密顿量模拟，其相互作用数量多项式有界，确保误差可控。
• 量子协议使用后选择技术将态投影到正确的计算子空间，成功概率超过60%。
• 该方法专为容错量子计算机设计，仅需10个量子比特和94个纠缠门即可实现实际精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管黑-斯科尔斯方程具有非厄米性质，是否能够通过哈密顿量模拟在量子计算机上高效求解？
• RQ2 如何将黑-斯科尔斯PDE的非幺正动力学以最小开销嵌入到幺正量子演化中？
• RQ3 将初始条件转换为周期性边界条件对量子算法的稳定性和准确性有何影响？
• RQ4 实现金融衍生品定价的经典水平精度所需的资源需求（量子比特、门数、成功概率）是什么？
• RQ5 该算法是否能在容错环境下实现指数级加速，同时保持有界误差和高成功概率？

主要发现

• 通过使用多项式数量的项截断哈密顿量相互作用，算法在保持误差有界的同时实现指数级加速。
• 在10个量子比特和94个纠缠门下，算法达到与经典数值方法相当的预期精度水平。
• 使用第二个辅助量子比特强制实现周期性边界条件，显著提升了量子模拟的稳定性和性能。
• 基于嵌入协议的后选择程序实现了超过60%的成功概率。
• 该方法为在数字量子计算机上使用哈密顿量模拟实现金融衍生品定价提供了一种可行且可扩展的途径，区别于基于蒙特卡洛的量子方法。