[論文レビュー] Pricing path-dependent Bermudan options using Wiener chaos expansion: an embarrassingly parallel approach

Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ポリシー反復における従来の最小二乗回帰の代わりにウィエンャークラウド展開（WCE）を用いる、経路に依存するバミューダン・オプションの価格設定のための新規で、並列性が著しく高いアルゴリズムを提案する。条件付き期待値を、独立したモンテカルロサンプリングによって計算されたWCE係数を用いた$L^2$-直交射影として表現することで、マルコフ性の仮定を回避し、通信量が少なく、並列性に優れたスケーラブルな計算が可能となり、スパコン上で256コアで76%の効率を達成し、32倍の高速化を実現した。

ABSTRACT

In this work, we propose a new policy iteration algorithm for pricing Bermudan options when the payoff process cannot be written as a function of a lifted Markov process. Our approach is based on a modification of the well-known Longstaff Schwartz algorithm, in which we basically replace the standard least square regression by a Wiener chaos expansion. Not only does it allow us to deal with a non Markovian setting, but it also breaks the bottleneck induced by the least square regression as the coefficients of the chaos expansion are given by scalar products on the L^2 space and can therefore be approximated by independent Monte Carlo computations. This key feature enables us to provide an embarrassingly parallel algorithm.

研究の動機と目的

• 経路に依存するバミューダン・オプションの価格設定における計算ボトル neck を解消すること、特に報酬過程が非マルコフ的である場合に焦点を当てる。
• ロングスタフ＝シュワルツ法における標準的な最小二乗回帰の限界を克服すること。この方法は次元が増えるとスケーリングが著しく悪化し、並列性にも劣る。
• ウィエンャークラウド展開を活用することで、経路に依存するオプションをヨーロピアン・オプションと同様に扱える汎用的でブラックボックス型のオプション価格設定フレームワークを構築すること。
• 独立したモンテカルロ経路ごとにWCE係数の推定を分離することで、並列性が著しい計算を実現すること。
• Hestonモデルや移動平均オプションといった実世界のモデルに対して、強力なスケーラビリティと精度を示すことを目的とする。

提案手法

• ポリシー反復における標準的な最小二乗回帰ステップを、条件付き期待値$\mathbb{E}[U_{T_{k+1}} \mid \mathcal{F}_{T_k}]$を近似するためのウィエンャークラウド展開（WCE）に置き換える。
• 条件付き期待値を、ヘルミート多項式の有限次元空間への射影として表現し、係数は$\widehat{\lambda}^M_k = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^M U^{(i)}_{T_{k+1}} \cdot H_k(\xi^{(i)})$として計算する。ここで$\xi^{(i)}$は標準正規乱数である。
• ヘルミート多項式の$L^2$-直交性を活用し、モンテカルロ経路ごとに係数を独立して計算可能とし、並列性が著しい実装を可能にする。
• 二段階の並列戦略を採用する：各コンピュータノードが経路をサンプリングし、局所的なWCE係数を計算した後、全ノードに係数を集約・ブロードキャストするためのグローバルリダクション（アラールーレース）を実行する。
• WCEに基づく条件付き期待値をポリシー反復ループに統合し、各行使日において近似された継続価値を用いて最適行使ルールを更新する。
• WCE係数推定の分散に起因するバイアスを低減するため、十分なモンテカルロサンプル数（$M = 10^6$ または $10^7$）を用いることで数値的安定性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィエンャークラウド展開を用いて、非マルコフ的状況下のバミューダン・オプション価格設定におけるポリシー反復の最小二乗回帰を置き換えることは可能か？
• RQ2 ヘルミート多項式の直交性が、高次元または経路に依存するオプション価格設定における条件付き期待値の計算に対して、並列性が著しいアルゴリズムを可能にするか？
• RQ3 移動平均オプションやHestonモデルオプションといった経路に依存するオプションに適用した場合、提案手法の計算効率とスループットのスケーリング特性はいかがなっているか？
• RQ4 モンテカルロサンプルサイズが、標準的なロングスタフ＝シュワルツ法と比較して、WCEベースの価格設定アルゴリズムのバイアスと精度に与える影響は何か？
• RQ5 チャリエール多項式を組み込むことで、WCEベースのアプローチをレヴィ過程に拡張可能か？また、並列スケーラビリティの観点から、既存手法と比較してどうなるか？

主な発見

• 提案されたWCEベースのポリシー反復アルゴリズムは、256コアで32倍の高速化を達成し、直列実行時の1.5時間から24秒に短縮され、並列効率は76%に達した。
• 512コアでも高い効率（最大0.86）を維持し、3204コアを備えたスパコン上で強力なスケーラビリティを示した。
• 移動平均報酬を有するHestonモデルでは、$M = 10^7$サンプルおよび$p = 3$の条件下で、WCE法により1.72274の価格を算出し、$10^6$サンプルおよび3次多項式を用いたロングスタフ＝シュワルツ法の結果と1%以内の誤差で一致した。
• $M = 10^5$サンプルを用いた場合、サンプル数が不足することでバイアスが生じ、やや高い価格が得られた。これは、WCE係数推定の分散が系licateバイアスを引き起こすことを確認した。
• 本手法は経路依存性に対して頑健である：移動平均オプションのように、報酬が経路の履歴に依存するオプションに対しても、マルコフ性の拡張を必要とせずに正しく価格設定できた。
• 本アルゴリズムは汎用的であり、ブラックボックスとして実装可能である：ヨーロピアン・オプション価格設定と同様に、ブラウン運動の経路と対応する報酬サンプルのみを必要とする。