[論文レビュー] Pricing variance swaps under Levy process with stochastic volatility and CIR interest rate

Ben-Zhang Yang, Yue Jia+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ヘストンの確率的ボラティリティ、CIRの確率的金利、およびレヴィ飛躍を組み合わせたハイブリッド金融モデル下でのバリアンススワップの閉形式価格設定モデルを提案する。前方測度への変換とアフィン構造、マルティンググール性の性質を活用することで、適正なデリバリー価格を導出しており、飛躍リスクがスワップ価格を顕著に上昇させ、確率的金利も価格設定において重要な役割を果たすことが示された。

ABSTRACT

This study focuses on the pricing of the variance swap in the financial market where the stochastic interest rate and the volatility of the stock are driven by Cox-Ingersoll-Ross model and Heston model with simultaneous L\'{e}vy jumps, respectively. After transforming the physical probability measure to the forward measure, we obtain a closed-form solution of the related moment-generating function having the martingale property and the affine structure. Moreover, we get the fair delivery price of the variance swap via the derivation of the moment-generating function under some mild conditions. Finally, some numerical examples are given to show that the values of variance swaps not only depend on the stochastic interest rates but also are higher in the presence of jump risks.

研究の動機と目的

• 確率的ボラティリティ、確率的金利、飛躍リスクを伴う市場におけるバリアンススワップの取り扱い可能な価格設定フレームワークの構築を目的とする。
• 統合的なレヴィ駆動型フレームワーク内に、ヘストンモデルによる確率的ボラティリティとCIRモデルによる確率的金利を統合することを目的とする。
• 前方測度下でのモーメント生成関数の閉形式解を導出することで、適正価値の計算を可能にする。
• 飛躍リスクと確率的金利がバリアンススワップ価格に与える影響を検討することを目的とする。
• 飛躍や確率的金利といったモデル要因に対するバリアンススワップ価格の感度を示す数値的証明を提供することを目的とする。

提案手法

• バリアンススワップ支払いのダイナミクスを簡素化するために、物理確率測度を前方測度に変換する。
• 基礎となる確率的過程のアフィン構造を活用し、実現ボラティリティのモーメント生成関数を導出する。
• 前方測度下でモーメント生成関数がマルティンググール性を満たすことを保証することで、リスク中立的価格設定を可能にする。
• アフィン変換手法を用いて、ヘストンボラティリティとCIR金利の連合ダイナミクス下での特性関数を解く。
• ややきつい正則性条件のもとで、前方測度下でのモーメント生成関数を用いてバリアンススワップの適正デリバリー価格を導出する。
• 突然の市場動揺を反映させるために、ボラティリティおよび金利過程の両方にレヴィ飛躍を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボラティリティおよび金利過程の両方にレヴィ飛躍を組み込むと、バリアンススワップの価格にどのような影響を与えるか？
• RQ2 ヘストンボラティリティとCIR金利を有するハイブリッドモデル下で、実現ボラティリティのモーメント生成関数に閉形式解が得られるか？
• RQ3 確率的金利は、バリアンススワップの適正デリバリー価格にどの程度の影響を及ぼすか？
• RQ4 純粋な拡散モデルと比較して、飛躍リスクはバリアンススワップ価格の大きさとリスクプレミアムにどのように変化をもたらすか？
• RQ5 アフィン構造と前方測度変換は、多因子設定下でのバリアンススワップ価格設定の取り扱いやすさにどのような影響を与えるか？

主な発見

• 前方測度下で、アフィンダイナミクスとマルティンググール条件を活用することで、実現ボラティリティのモーメント生成関数が閉形式で導出された。
• ややきつい技術的条件のもとで、導出されたモーメント生成関数を用いて、バリアンススワップの適正デリバリー価格が明示的に得られた。
• 数値的結果は、飛躍リスクが存在する場合にバリアンススワップ価格が高くなることを確認しており、顕著な飛躍リスクプレミアムが存在することが示された。
• CIRプロセスでモデル化される確率的金利は、定数金利を仮定するモデルとは対照的に、バリアンススワップ価格に無視できない影響を及ぼしている。
• 本モデルは、確率的ボラティリティ、確率的金利、飛躍の共同効果を捉えており、より豊かで現実的である価格設定フレームワークを提供している。
• アフィン構造と前方測度変換により、解析的取り扱いやすさが保たれるとともに、飛躍のクラスタリングや平均回帰といった重要なマーケット特徴も保持されている。