[論文レビュー] Primes in the denominators of Igusa Class Polynomials

Kristin Lauter|ArXiv.org|Jan 21, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、四次CM体を有する genus 2 曲線の Igusa 古典的多項式の分母に現れる素数を調査する。著者らは、このような素数が、$ d - x^2 $ を割り切る可能性があると提案し、$ x^2 \leq d $ を満たす整数 $ x $ が存在するものとし、その予想を裏付ける実験的証拠を提示する。この予想は、悪い還元および特異還元の振る舞いと関連している。

ABSTRACT

The purpose of this note is to suggest an analogue for genus 2 curves of part of Gross and Zagier's work on elliptic curves. Experimentally, for genus 2 curves with CM by a quartic CM field K, it appears that primes dividing the denominators of the discriminants of the Igusa class polynomials all have the property 1) that they are bounded by d, the absolute value of the discriminant of K, and 2) that they divide d-x^2, for some integer x whose square is less than d. A slightly stronger condition is given in Section 3. Such primes are primes of bad reduction for the genus 2 curve and primes of supersingular reduction for the Jacobian of the genus 2 curve.

研究の動機と目的

• CM を持つ genus 2 曲線の Igusa 古典的多項式の分母の構造を理解すること。
• これらの多項式の分母に現れる素数を特定すること。
• CM 体の判別式に基づいた、このような素数の予想的特徴づけを確立すること。
• これらの古典的多項式の係数を計算する際の精度の上限を定めるフレームワークを提供すること。

提案手法

• Shimura の理論を用いて、四次CM体の整数環のイデアル類を、主偏極を持つアーベル多様体に関連付ける。
• CM 型とイデアル類の整基底から周期行列 $ \Omega_i $ を計算する。
• 各周期行列に対して、10個の偶数のtheta定数を高精度で評価する。
• theta定数の組み合わせから、3つの絶対 Igusa 不変量 $ j_1, j_2, j_3 $ を導出する。
• すべてのイデアル類を渡る積として、Igusa 古典的多項式 $ h_1, h_2, h_3 $ を構成する。
• 多項式の判別式の分母に現れる素数が、$ x^2 \leq d $ を満たす整数 $ x $ に対して $ d - x^2 $ を割り切る可能性があると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四次体による CM を持つ genus 2 曲線の Igusa 古典的多項式の分母に現れる素数は、どのようなものか？
• RQ2 このような素数を特徴づける数論的条件は存在するか？
• RQ3 これらの素数は、曲線の悪い還元に対応する素数、あるいはその Jacobian の特異還元に対応する素数か？
• RQ4 CM 体の判別式が、このような素数の集合を予測できるか？
• RQ5 この特徴づけに基づいて、古典的多項式の係数を計算するための精度の上限を定められるか？

主な発見

• Igusa 古典的多項式の判別式の分母に現れる素数は、CM 体の絶対判別式 $ d $ に対して、$ x^2 \leq d $ を満たす整数 $ x $ が存在するとき、$ d - x^2 $ を割り切る。
• すべてのテスト例において、これらの素数は、CM 体の実二次部分体への相対判別式のノルム $ d_0 $ に対して、$ d_0 - x^2 $ を割り切る。
• これらの素数は、genus 2 曲線の悪い還元に対応する素数であり、その Jacobian の特異還元に対応する素数である。
• 著者および共同研究者による複数の例の実験的データが、この予想を支持している。
• この結果は、Igusa 古典的多項式を計算する際に必要な精度の上限を制限する可能性のある手法を示唆している。